雷诺输运定理的证明

雷诺输运定理的证明

雷诺输运定理描述的是微分符号如何放到求导符号里面的问题，它的一个表述如下：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{\Omega(t)} \mathbf{f} \mathrm{d} \mathrm{V}=\int_{\Omega(t)} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t} \mathrm{d} \mathrm{V}+\int_{\partial \Omega(t)}\left(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}\right) \mathbf{f} \mathrm{d} \mathrm{A}$dtd​∫Ω(t)​fdV=∫Ω(t)​∂t∂f​dV+∫∂Ω(t)​(v⋅n)fdA
其中的$\Omega(t)$Ω(t)是边界变化的一个区域，物理量$\mathbf{f}$f可以是向量或者标量，$\mathbf{v}$v是某一点的速度，$\mathbf{n}$n是区域表明的单位外法向量。

下面给一个简单的证明。

不妨假设$\mathbf{f}$f为标量，即令$\mathbf{f} = \rho(x,t)$f=ρ(x,t)。我们可以通过一个变换，将时变的区域都变换到一个和时间无关的标准区域，即令$x=\xi(\tilde x,t)$x=ξ(x~,t)，$\tilde x$x~是标准区域上的空间变量。这个标准区域长什么样子没有太大关系，因为变过去，最后还要变回来。

那么有(为了书写的简洁方便，可能在公式中会将雅克比行列式写为$J$J，以及省略掉比较明显的函数自变量)：
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{\Omega(t)} \rho(x,t)\mathrm{d} x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{\Omega} \rho(\xi(\tilde x,t),t)|\xi_{\tilde x}|\mathrm{d} \tilde x = \int_{\Omega} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} ( \rho(\xi(\tilde x,t),t)|\xi_{\tilde x}|)\mathrm{d} \tilde x\\= \int_\Omega J\frac{\mathrm{d \rho}}{\mathrm{dt}}+ \rho\frac{\mathrm{d J}}{\mathrm{dt}}\mathrm{d} \tilde x= \int_\Omega J(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla \rho)+ \rho(\nabla \cdot \mathbf{v}\cdot J) \mathrm{d} \tilde x\\= \int_\Omega J\frac{\partial \rho}{\partial t}+J \nabla \cdot (\rho \mathbf{ v}) \mathrm{d} \tilde x= \int_{\Omega(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{ v}) \mathrm{d} x = \int_{\Omega(t)} \frac{\partial \rho}{\partial t} \mathrm{d} x + \int_{\partial \Omega(t)} (\rho \mathbf{ v}\cdot \mathbf{n}) \mathrm{d} s$dtd​∫Ω(t)​ρ(x,t)dx=dtd​∫Ω​ρ(ξ(x~,t),t)∣ξx~​∣dx~=∫Ω​dtd​(ρ(ξ(x~,t),t)∣ξx~​∣)dx~=∫Ω​Jdtdρ​+ρdtdJ​dx~=∫Ω​J(∂t∂ρ​+v⋅∇ρ)+ρ(∇⋅v⋅J)dx~=∫Ω​J∂t∂ρ​+J∇⋅(ρv)dx~=∫Ω(t)​∂t∂ρ​+∇⋅(ρv)dx=∫Ω(t)​∂t∂ρ​dx+∫∂Ω(t)​(ρv⋅n)ds

即证。

注意到，这个过程中，我们用到了物质导数以及对行列式求导的公式${\mathrm{d}J}/{dt}=\nabla \cdot \mathbf{v}\cdot J$dJ/dt=∇⋅v⋅J。
事实上，容易验证：
$\frac{\partial J(\mathbf{\tilde x}, t)}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{det} \boldsymbol{F})=(\operatorname{det} \boldsymbol{F})(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v})=J(\mathbf{\tilde x}, t) \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\xi(\mathbf{\tilde x}, t), t)=J(\mathbf{\tilde x}, t) \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{\tilde x}, t)$∂t∂J(x~,t)​=∂t∂​(detF)=(detF)(∇⋅v)=J(x~,t)∇⋅v(ξ(x~,t),t)=J(x~,t)∇⋅v(x~,t)

$\mathbf{F}$F为雅克比矩阵。