双向反射分布函数（Bidirectional Reflectance-Distribution Function, BRDF）

双向反射分布函数（Bidirectional Reflectance-Distribution Function, BRDF）

辐射通量（radiation flux）通过立体角$d\omega_{i} [sr]$dωi​[sr]，以$(\theta_{i},\phi_{i})$(θi​,ϕi​)角度照射到表面$A_{i}$Ai​上。分配到以点$(x_{i}, y_{i})$(xi​,yi​)为中心的$dA_{i}$dAi​面上的入射量表示为$d^{\Phi _{i}} [W]$dΦi​[W]。在点$(x_{r}, y_{r})$(xr​,yr​)以$(\theta_{r},\phi_{r})$(θr​,ϕr​)角度反射来自$d^{\Phi _{i}} [W]$dΦi​[W]的辐射率表示为$dL_{r}$dLr​。一般情况下，$dL_{r}$dLr​与$d^{\Phi _{i}} [W]$dΦi​[W]是成比例，如下：

$dL_{r} = S \cdot d^{\Phi _{i}} [W \cdot m^{-2} \cdot sr^{-1}]$dLr​=S⋅dΦi​[W⋅m−2⋅sr−1] ------------------- 1
因子$S$S依赖于入射光及出射光的位置，方向。

$S = S(\theta_{i}, \Phi_{i}, x_{i}, y_{i}, \theta_{r}, \Phi_{r}, x_{r}, y_{r}) [m^{-2} \cdot sr^{-1}]$S=S(θi​,Φi​,xi​,yi​,θr​,Φr​,xr​,yr​)[m−2⋅sr−1]------------------- 2
这个基本的比例函数$S$S叫做双向散射表面反射分布函数（Bidirectional scattering-surface reflectance-distribution function, BSSRDF）。

这种表示形式，仅仅提供了在入射通量与反射通量之间的最一般化的，没有加入任何假设的表达方式。

在微面元模型下，入射光以极角（polar angles）表示为$(\theta_{i}, \phi_{i})$(θi​,ϕi​)，并$\color{#ea4335}{假设表面A_{i}是均匀辐射}$假设表面Ai​是均匀辐射。
那么入射光的辐射率（radiance）仅仅依赖于入射方向：
$L_{i} = L_{i}(\theta_{i}, \phi_{i}) [W \cdot m^{-2} \cdot sr^{-1}]$Li​=Li​(θi​,ϕi​)[W⋅m−2⋅sr−1] ------------------------------ 3

在微面$dA_{i}$dAi​上的入射通量$d\Phi_{i}$dΦi​，即来自$(\theta_{i}, \phi_{i})$(θi​,ϕi​)方向的立体角$d\omega_{i}$dωi​的通量为：
$d\Phi_{i} = L_ {i} \cdot cos\theta_{i} \cdot d\omega_{i} \cdot dA_{i} = dE_{i}\cdot dA_{i}$dΦi​=Li​⋅cosθi​⋅dωi​⋅dAi​=dEi​⋅dAi​ ------------------------------ 4

这里$dE_{i} = L_{i}\cdot cos\theta_{i} \cdot d\omega_{i}$dEi​=Li​⋅cosθi​⋅dωi​表示入射光辐射照度，$d\omega_{i}$dωi​为入射光限定内的立体角。这样把所有的$(\theta_{i}, \phi_{i})$(θi​,ϕi​)方向上，以$d\omega_{i}$dωi​为立体角的入射通量加起来，就可以计算传输到整个辐射面上的辐射量：
$dL_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r}, x_{r}, y_{r})$dLr​(θi​,ϕi​;θr​,ϕr​,xr​,yr​)$=\int_{A_{i}}dL_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r}, x_{r}, y_{r})$=∫Ai​​dLr​(θi​,ϕi​;θr​,ϕr​,xr​,yr​)
$= \int_{A_{i}}S\cdot d\Phi_{i} = dE_{i} \cdot \int_{A_{i}} S \cdot dA_{i}$=∫Ai​​S⋅dΦi​=dEi​⋅∫Ai​​S⋅dAi​
$= dE_{i} \cdot \int_{A_{i}} S(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r}, x_{r}, y_{r}) \cdot dA_{i} [W \cdot m^{-2 \cdot sr^{-1}}]$=dEi​⋅∫Ai​​S(θi​,ϕi​;θr​,ϕr​,xr​,yr​)⋅dAi​[W⋅m−2⋅sr−1] ------------------------------ 5

如果$\color{#ea4335}{假设样本的散射属性在参考表面是均匀的且各项同性}$假设样本的散射属性在参考表面是均匀的且各项同性，那么散射方程$S$S就不依赖于出射光位置$(x_{r}, y_{r})$(xr​,yr​)，但仍依赖于入射光位置$(x_{i}, y_{i})$(xi​,yi​)和出射光位置$(x_{r}, y_{r})$(xr​,yr​)之间的距离$r$r，这样等式5可以改写成：
$dL_{r}=dE_{i} \cdot f_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r}) [W \cdot m^{-2 \cdot sr^{-1}}]$dLr​=dEi​⋅fr​(θi​,ϕi​;θr​,ϕr​)[W⋅m−2⋅sr−1]------------------------------ 6
$f_{r}=\int_{A_{i}}S(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r};r) \cdot A_{i} [sr^{-1}]$fr​=∫Ai​​S(θi​,ϕi​;θr​,ϕr​;r)⋅Ai​[sr−1] ------------------------------ 7
$r = [(x_{i}-x_{r})^2]+(y_{i}-y_{r})^{2}]$r=[(xi​−xr​)2]+(yi​−yr​)2]------------------------------ 8

因此，对于均匀辐照度（受照面单位面积上的辐射通量），量化反射属性的基本量化函数$f_{r}$fr​可以表示为：
$f_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r})=dL_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r};E_{i})/dE_{i}(\theta_{i}, \phi_{i})=dL_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r};E_{i})/[ L_{i}(\theta_{i},\phi_{i}) \cdot cos\theta_{i} \cdot d\omega_{i})] [sr^{-1}]$fr​(θi​,ϕi​;θr​,ϕr​)=dLr​(θi​,ϕi​;θr​,ϕr​;Ei​)/dEi​(θi​,ϕi​)=dLr​(θi​,ϕi​;θr​,ϕr​;Ei​)/[Li​(θi​,ϕi​)⋅cosθi​⋅dωi​)][sr−1]------------------------------ 9

函数$f_{r}$fr​就是双向反射分布函数，简称为BRDF。对于给定的一对方向，BRDF$f_{r}$fr​可以表示为反射量（concentration of reflectacne per steradian），其取值范围$[0, +\infty)$[0,+∞)。由于$f_{r}$fr​仅依赖于方向，因此入射通量与出射通量可以简化为下图表示。