我希望提供有关此问题的动态编程解决方案的分步演练。
本文假设读者已经精通递归解决方案。 如果对此有很多疑问，我将通过编辑此帖子进行跟进。 或者我可能还是会回来编辑它。
让我们从看代码开始。 我将使用Python并分解脚本关键部分中发生的情况。 这称为自下而上的方法，因为我们正在逐步提升索引，而不是通过递减索引直到终止来实现递归。
该函数采用S（硬币列表），m（硬币列表的长度）和n（我们要组成的零钱）。 在本文中，我们将使用S = [1,2,3]和n = 4的简单但具有代表性的情况。
在下面的红色框中，我们只是在构造一个列表列表，列表的长度为n + 1。 我们首先将各个列表中的所有值初始化为0。然后，将表中的第一个列表初始化为全1。 为什么会这样呢？ 让我们继续了解原因。
首先，让我们开始完全了解并理解下图。 在n = 4和S = [1,2,3]的情况下，
我们将使用的变量如下：S是输入列表，j是跟踪每个S的索引。表中列表的数量初始化为n + 1，以适应n = 0的基本情况。 为什么它们充满“ 1”？ 这样，程序将在n = 0时始终返回1，类似于对此问题的递归解决方案。
接下来，让我们看看嵌套的for循环中发生了什么。
我们将遍历表中从索引1开始的每个列表，并且在每次迭代中，我们将遍历S。这样，我们就可以累积计算，并且能够避免重复的计算向前发展。
通过在嵌套的for循环中实现它并增加索引，我们将其称为自底向上方法。
现在到了棘手的部分（至少对我来说是这样）。 让我们关注嵌套的for循环内的两个语句。 从表n = 1开始，对表中每个列表中的每个元素执行这两个语句。
让我们看一下两行代码：
与递归解决方案类似，对于内循环的每次迭代，我们都希望获得强制包含S [j]并将其存储在x中的解，还希望获得强制排除S [j]并将其存储在y中的解。 这样，我们将能够引用较早的解决方案，以避免重复计算。
为什么要这样在每次计算中包含和排除硬币S [j]？
解释很简单。 对于每种硬币，只能有两种可能性。 考虑使用n值包含或排除它。 并且我们知道，如果硬币（S [j]）大于n，则x将返回0，因为将其考虑在内是不可能的。
现在，让我们从两个问题开始：
1. i_S [j]的意义是什么？
S [j]之后参考的先前i的值取自i。 强制包含S [j]。
2.为什么引用[j]？
我们想引用S中相同的位置，即S [j]，只是在不同的n处。
3.为什么将它用作表数组的索引？
引用n数组的早期计算。
这两个语句是什么意思：
1. 第一句话
通过使S [j]为强制性，我们从i中减去S [j]并参考过去计算的n，其中n = i_S [j]。
2. 第二条陈述
通过引用先前计算的S [j] = S [j] _1找出所有不包含S [j]的解决方案。让我们深入研究。
让我们深入探讨第二个陈述：
1. [i] [j-1]的意义是什么？
在S的前一个元素中引用相同的n。
2. 为什么当j <1时总是返回0？
当j = 0时，我们不考虑任何S [j]。
3.在这种情况下，列表S是否必须排序？
不，因为我们累积地遍历m朝着j = m的方向努力，并且只对最终情况感兴趣。
4.使用S [0]和S [2]但不使用s [1]的情况如何？
我们不需要进行计算，因为最终我们想知道在迭代硬币数组中的所有硬币之后，对于i == n存在多少个解决方案。
现在，让我们开始运行带有测试值的嵌套for循环。
以上步骤的图示。
我希望这篇文章能够对尝试了解此问题的人有所帮助。 请原谅我没有真正花时间在美学上，希望内容能弥补这一点。
另请参阅Geeksforgeeks网站上的Dynamic Programming Solution，并阅读以下文章：
给定一个值N，如果我们想以N美分作为零钱，那么我们就有S = {S1，S2，..，Sm}中的每一个的无限供应… www.geeksforgeeks.org
From: https://hackernoon.com/the-coin-change-problem-explained-ddd035a8f22f