非前缀码：避免歧义
非前缀码可以用哈夫曼树表示
平均传输位数：频率*长度
哈夫曼树的构造：for i=1 to n-1 【省略】
证明：很好证明。
B(T)-B(T’)=[f(x)-f(a)][dx-da]+[f(y)-f(b)][d(y)-d(b)]>0
引理二：
x,y是同一父节点的树叶节点，哈夫曼树B(T)。将x,y去掉并使得x,y的父节点z f(z)=f(x)+f(y)，则B(T)=B(T’)+f(x)+f(y)
还是很好证明，略
证明哈夫曼算法：
命题：Huffman 算法对任意规模为n(n>1)的字符集C都能得到关于C的最优字符集
归纳基础：n=2时，哈夫曼算法显然成立
归纳步骤：假如对规模为n的字符集得到最优前缀码能得到最优字符集，则对n+1的字符集也能得到最优字符集
证明：
设字符集C{x1,x2----xn+1}，x1,x2是频率最小的两个字符，根据引理2，
我们假设字符集C’=C-{x1,x2}+{z}，用z代替x1,x2,且f(z)=f(x1)+f(x2)
因为字符集C’含有n个字符，根据归纳假设，我们得到最优字符集B(T)
现在将x1,x2连接在字符z作为其
应用：文件归并
运用哈夫曼树进行文件归并，比较次数最小
最小生成树
性质：
1：n个顶点的图有n-1条边
2：新增一条不在生成树的边，则成圈
3：去掉一条圈的边，则得到另一个棵生成树
prim算法
过程略
证明：
假设prim算法从顶点1开始选边
归纳基础：k=1，则存在一棵最小生成树包含边e=(1,i)，其中{1，i}是所有关联1的边中权最小的
证明：
归纳步骤：算法进行了k步，由归纳假设得到选择的e1-ek的边都是最小生成树的边。则第k+1挑的边也是最小生成树的边
证明：
第k+1步选择边ek+1{ik+1,-}其中ik+1在已选顶点集T中。
如果ek+1在最小生成树中，则显然成立
如果ek+1不在最小生成树：
时间复杂度O(n^2)
Kruskal算法
过程：利用并查集，设置find数组，首先进行排序
归纳基础：边数n=2时，算法正确，G中只有一条边
归纳步骤：假设算法对于n阶图是正确的，则算法对于n+1图也是正确的
基础：短接操作
证明：
时间复杂度：O(nlogn)
应用：数据分组
一组数据(照片，文件，生物标本)要把它们按照相关性进行分类。用相似度函数或者距离描述个体差异
对于很多数据，如果分成五类，如何划分？
使用Kruskal算法
单元最短路问题
Dijkstra算法：
归纳步骤：假设命题对k为真，考虑k+1步算法，选择顶点v,需要证明dist[v]=short[v]
如果存在另一条路径s-x-y-v，证明其长度一定大于s-u-v