简单多边形与圆相交求面积
简单多边形的有向面积
所谓简单多边形，就是指不相邻的边不相交，且每个顶点只跟2条边相邻。一般而言，除非题目要求判断是否为简单多边形，否则给出的数据肯定都是简单多边形。以下将简单多边形简称为多边形。多边形一般都是以点集的形式给出，顺时针或者逆时针。另外一个需要注意的概念就是多边形的凹凸性。一般而言，凸多边形的算法比凹多边形的算法要简单的多。所以设计算法时，必须注意题目条件。而有向面积是不区分凹凸性的算法之一。
计算三角形的面积和有向面积使用叉积即可，请参考计算几何的基础数据结构与算法，这种情况下很容易计算出凸多边形的面积，对一个N边形来说，就是N-2个三角形的面积之和。而对凹多边形而言，如上图右边，三角形P0P1P2其实不在多边形内，如果直接加面积必然出错。但解决办法也很简单，使用有向面积！三角形P0P1P2的旋向与整个多边形的旋向其实是反的，而三角形P0P2P3则是正的，有向面积累加之后，很自然的多边形外部的面积就抵消了。最后的结果仍然是整个多边形的有向面积。更进一步的，实际上不需要旋转P0作为基点来划分三角形，也不需要选择多边形内部的一点，而是平面上的任意点。
如上图，三角形OP0P1既包含了多边形的内部部分，也包含了多边形的外部部分，但是三角形OP1P2旋向相反，就会抵消一部分，如此循环，最后外部部分必然全部抵消，只剩下多边形的内部部分。无论凹凸都一样。
总结一下，多边形的有向面积，其实就是选一个基准点（一般就是P0），然后对每条边（边与基准点构成一个三角形）算一个三角形的有向面积，累加即可。而圆与多边形相交求面积的处理思路是一样的。
简单多边形与圆相交的有向面积
如上图所示，选择圆心O作为基准点，则多边形与圆O相交的有向面积，可以分解为圆O与圆心三角形的有向面积。所以，只需求解圆心三角形与圆相交的有向面积即可。
圆心三角形与圆相交求面积
设圆心三角形的另外2个点分别为A和B，显然要考虑线段AB与圆O的相交情况。如果使用几何方法，需要判断A、B是否在圆内等几种情况。这里使用参数法来描述线段AB，将所有情况讨论都转化为对一元二次方程根的讨论，形式上比较统一。当然讨论情况的数量是一样多的。设P是线段AB上的一点，则当t取值[0,1]时，P就是线段AB上的点，当时，t就是射线B（AB方向）上的点，当时，t就是射线A(BA方向)上的点。所以控制t的取值，就能控制AB这一段线元到底是线段、射线还是直线。t的本质含义就是（注意与定比分点的区别）又由于P是圆O上一点，所以满足圆方程，于是可以得到一个关于t的一元二次方程。t的解就对应直线AB与圆O的相交情况。设是较小的解，是较大的解，有如下情况：
- 无解：说明直线AB与圆不相交，直接求扇形的有向面积即可。在这个过程中注意OA和OB的方向角的求法，其取值范围在之间，没有直接的反三角函数可以满足这个需求。需要自行处理一下。、或者均可。另外要注意使用反正弦和反余弦时定义域的范围。
- 1解：说明直线AB与圆相切，实际上与第一种情况相同。
- 2解：此时需要考察解的范围，区间将实数分成三段，一共有6种情况，一一讨论即可。这里仅讨论的情况。相当于下图。
即A在圆内且B在圆外的情况，此时相交的有向面积就是一个三角形再加一个扇形的面积。考虑到t的含义，所以的面积就是的t倍，而根据的面积配合反三角函数即可求出。这里的反三角函数直接用即可，因为保证不是钝角。这样扇形面积也可以求出。
简单多边形与圆相交的有向面积
求得圆心三角形与圆相交的面积后，不需要区分三角形还是多边形，直接按照N边形循环N次即可。具体代码可以参考多边形与圆相交求面积题目。