菜鸡HP的被虐日常（4）π,奇数和正余弦之间的微妙关系①

$By\quad HolyPush$ByHolyPush

愚蠢的$HP$HP由于一哥太巨了而跪倒在地，痛哭流涕。没想到一哥不仅没有安慰$HP$HP，还唆使聪明的$txl$txl又给了他一道题……

求$cos\frac{\pi}{9}cos\frac{5\pi}{9}cos\frac{7\pi}{9}$cos9π​cos95π​cos97π​的值。
愚蠢的$HP($HP(高兴$)$)：这道题我会！
原式=$cos\frac{\pi}{9}cos\frac{2\pi}{9}cos\frac{4\pi}{9}$cos9π​cos92π​cos94π​，配上一个$sin\frac{\pi}{9}$sin9π​，则原式=$\frac{sin\frac{\pi}{9}cos\frac{\pi}{9}cos\frac{2\pi}{9}cos\frac{4\pi}{9}}{sin\frac{\pi}{9}}$sin9π​sin9π​cos9π​cos92π​cos94π​​，不断利用二倍角公式化下去可以得到最终结果为$\frac{1}{8}$81​。还可以得到推广结论$cos\frac{\pi}{2n+1}cos\frac{2\pi}{2n+1}...cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{1}{2^n}$cos2n+1π​cos2n+12π​...cos2n+1nπ​=2n1​。

聪明的$txl:$txl:你看错了，题目是这样的。

求$cos\frac{\pi}{9}+cos\frac{5\pi}{9}+cos\frac{7\pi}{9}$cos9π​+cos95π​+cos97π​的值。

愚蠢的$HP$HP晕倒在地再也没有醒来过……于是聪明的$txl$txl飞进了愚蠢的$HP$HP的大脑里来好好教育他……要死了厚。

愚蠢的$HP$HP：其实像这种题目我一看到就头晕……这种题目有什么技巧吗？
聪明的$txl$txl：既然$9$9太难了，那么我们从简单的开始吧。先看$3$3吧。你总该知道$cos\frac{\pi}{3}$cos3π​是多少吧？
愚蠢的$HP$HP：谁不知道惹？不就是$\frac{1}{2}$21​吗。
聪明的$txl$txl：那看看$5$5吧。$cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5}$cos5π​+cos53π​是多少？
愚蠢的$HP$HP：嘻嘻，这个也简单。$cos36°=\frac{\sqrt{5}+1}{4},cos108°=-sin18°=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}$cos36°=45​+1​,cos108°=−sin18°=−45​−1​，加起来……貌似也是$\frac{1}{2}?$21​?
聪明的$txl$txl：虽然记数据挺不错的，但是这推广不了，我们应该想想其他做法。
愚蠢的$HP$HP：那有什么方法呢？

第一种方法，可以利用和差化积。$cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5}=2\cos\frac{2\pi}{5}cos\frac{\pi}{5}$cos5π​+cos53π​=2cos52π​cos5π​。然后就可以使用常见套路：配上一个$sin$sin了。
原式=$\frac{2\cos\frac{2\pi}{5}cos\frac{\pi}{5}sin\frac{\pi}{5}}{sin\frac{\pi}{5}}=\frac{sin\frac{2\pi}{5}cos\frac{2\pi}{5}}{sin\frac{\pi}{5}}=\frac{sin\frac{4\pi}{5}}{2sin\frac{\pi}{5}}=\frac{1}{2}$sin5π​2cos52π​cos5π​sin5π​​=sin5π​sin52π​cos52π​​=2sin5π​sin54π​​=21​
或者直接使用刚刚的推广结论，那么答案就是$2×\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2}$2×221​=21​。

第二种方法，使用平方法。令原式=$S$S，则$S^2=cos^2\frac{\pi}{5}+cos^2\frac{3\pi}{5}+2cos\frac{\pi}{5}cos\frac{3\pi}{5}=\frac{1+cos\frac{2\pi}{5}}{2}+\frac{1+cos\frac{6\pi}{5}}{2}+cos\frac{2\pi}{5}+cos\frac{4\pi}{5}=1-\frac{3}{2}cos\frac{3\pi}{5}-\frac{3}{2}cos\frac{\pi}{5}=1-\frac{3}{2}S$S2=cos25π​+cos253π​+2cos5π​cos53π​=21+cos52π​​+21+cos56π​​+cos52π​+cos54π​=1−23​cos53π​−23​cos5π​=1−23​S
解方程$S^2=1-\frac{3}{2}S$S2=1−23​S，得$S=\frac{1}{2}$S=21​或$-2$−2。$-2$−2显然不符合，所以$S=\frac{1}{2}$S=21​

第三种方法，利用构造对偶式。
令$x=cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5},y=sin\frac{\pi}{5}+sin\frac{3\pi}{5}$x=cos5π​+cos53π​,y=sin5π​+sin53π​。则$xy=sin\frac{\pi}{5}cos\frac{\pi}{5}+sin\frac{3\pi}{5}cos\frac{3\pi}{5}+(sin\frac{\pi}{5}cos\frac{3\pi}{5}+sin\frac{3\pi}{5}cos\frac{\pi}{5})=\frac{1}{2}sin\frac{2\pi}{5}+\frac{1}{2}sin\frac{6\pi}{5}+sin\frac{4\pi}{5}=\frac{1}{2}(sin\frac{\pi}{5}+sin\frac{3\pi}{5})=\frac{1}{2}y$xy=sin5π​cos5π​+sin53π​cos53π​+(sin5π​cos53π​+sin53π​cos5π​)=21​sin52π​+21​sin56π​+sin54π​=21​(sin5π​+sin53π​)=21​y
∴$xy=\frac{1}{2}y, ∴x=\frac{1}{2}$xy=21​y,∴x=21​

第四种方法，利用向量法。
把单位圆平均分成五份，分别对应$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OE}$OA,OB,OC,OD,OE。由力的平衡，或者说由多边形的性质可知，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\vec{0}$OA+OB+OC+OD+OE=0。将这五个力在$x$x轴方向上分解的向量之和同理也为$\vec{0}$0。这五个向量在$x$x轴方向上分解得到的向量横坐标分别为$1,cos\frac{2\pi}{5},cos\frac{4\pi}{5},cos\frac{6\pi}{5},cos\frac{8\pi}{5}$1,cos52π​,cos54π​,cos56π​,cos58π​。故$1+cos\frac{2\pi}{5}+cos\frac{4\pi}{5}+cos\frac{6\pi}{5}+cos\frac{8\pi}{5}=0$1+cos52π​+cos54π​+cos56π​+cos58π​=0，即$1-2(cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5})=0$1−2(cos5π​+cos53π​)=0，即$cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5}=\frac{1}{2}$cos5π​+cos53π​=21​

第五种方法，还是和第一种方法类似进行配凑，后来通过积化和差用裂项进行处理。给原式配上一个$sin\frac{\pi}{5}$sin5π​，$sin\frac{\pi}{5}(cos\frac{\pi}{5}+cos\frac{3\pi}{5})=\frac{1}{2}(sin\frac{2\pi}{5}+sin\frac{4\pi}{5}-sin\frac{2\pi}{5})=\frac{1}{2}sin\frac{\pi}{5}$sin5π​(cos5π​+cos53π​)=21​(sin52π​+sin54π​−sin52π​)=21​sin5π​，故原式=$\frac{1}{2}$21​

聪明的$txl$txl：向量法、配凑法、对偶式、平方法都是解决这类问题常用的方处理法。
愚蠢的$HP$HP：那有没有推广形式惹。
聪明的$txl$txl：一般而言，$cos\frac{\pi}{2n+1}+cos\frac{3\pi}{2n+1}+...+cos\frac{(2n-1)\pi}{2n+1}=\frac{1}{2}$cos2n+1π​+cos2n+13π​+...+cos2n+1(2n−1)π​=21​。对应的，$cos\frac{2\pi}{2n+1}+cos\frac{4\pi}{2n+1}+...+cos\frac{2n\pi}{2n+1}=-\frac{1}{2}$cos2n+12π​+cos2n+14π​+...+cos2n+12nπ​=−21​。具体证明，可以由你自己来试试。利用裂项和向量法都非常便捷。

愚蠢的$HP$HP仿佛突然间开窍了似的醒了过来。
愚蠢的$HP$HP：我知道了，原式加上一个$cos\frac{3\pi}{9}$cos93π​，也就是$\frac{1}{2}$21​，那么答案就是$\frac{1}{2}$21​。所以，原式$=0$=0！
聪明的$txl$txl：你可真是个小天才。但是，其实反面还有一题哦！

求$X$X的值。$X$X是什么，下回再说厚，先不剧透。

$HP$HP又晕了过去……

欲知后事如何，请听下回因式分解。