三点定圆的Racket实现

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一、数学解释

　　如何通过三个点确定一个圆？ 
　　这是一个有趣的几何问题，同时也是计算机图形学要处理的问题。

　　这里给出一个求解办法： 
　　给出三个点：(spx,spy)，(mpx,mpy)，(epx,epy) 
　　求解圆。 
　　根据圆半径（r）、圆心(cpx,cpy)、圆上的一点(x,y)的关系：

1. (x - cpx)^2 + (y - cpy)^2 = r^2

得出三个等式：

1. 1）：(spx - cpx)^2 + (spy - cpy)^2 = r^2
2. 2）：(mpx - cpx)^2 + (mpy - cpy)^2 = r^2
3. 3）：(epx - cpx)^2 + (epy - cpy)^2 = r^2

解开等式，得：

1. 1）：spx^2 + cpx^2 - 2 * spx * cpx + spy^2 + cpy^2 - 2 * spy * cpy = r^2
2. 2）：mpx^2 + cpx^2 - 2 * mpx * cpx + mpy^2 + cpy^2 - 2 * mpy * cpy = r^2
3. 3）：epx^2 + cpx^2 - 2 * epx * cpx + epy^2 + cpy^2 - 2 * epy * cpy = r^2

执行等式相减1）-2），1）-3），得到：

1. 4）：cpx * (spx - mpx) + cpy * (spy - mpy) =[(spx^2 - mpx^2) + (spy^2 - mpy^2)] / 2
2. 5）：cpx * (spx - epx) + cpy * (spy - epy) =[(spx^2 - epx^2) + (spy^2 - epy^2)] / 2

进行代数替代，设：

1. smx = spx - mpx
2. smy = spy - mpy
3. sex = spx - epx
4. sey = spy - epy
5. smxy = [(spx^2 - mpx^2) + (spy^2 - mpy^2)] / 2
6. sexy = [(spx^2 - epx^2) + (spy^2 - epy^2)] / 2

简化等式为：

1. 4）：smx * cpx + smy * cpy = smxy
2. 5）：sex * cpx + sey * cpy = sexy

则：

1. 6）：cpx = (smxy - smy * cpy) / smx

再计算得到cpy：

1. cpy = (sexy * smx - sex * smxy) / (smx * sey - sex * smy)

则：

1. cpx = (smxy * sey - smy * sexy) / (smx * sey - sex * smy)

注：也可以直接将取得的cpy代入式（６）中取得cpx值，计算更简单。 
最后计算r值：

1. r = [(spx - cpx)^2 + (spy - cpy)^2]^(1/2)

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二、程序实现：

根据以上推导，实现如下：

1. ;3p-circle.rkt
2. ;三点确定圆：
3.  
4. #lang racket
5.  
6. (provide
7. (struct-out point)
8. 3p-circle)
9.  
10. ;Racket实现：==================
11. ;点结构：
12. (struct point (x y))
13. ;三点定圆：
14. (define (3p-circle sp mp ep)
15. (let* ([spx (point-x sp)]
16. [spy (point-y sp)]
17. [mpx (point-x mp)]
18. [mpy (point-y mp)]
19. [epx (point-x ep)]
20. [epy (point-y ep)]
21. [smx (- spx mpx)]
22. [smy (- spy mpy)]
23. [sex (- spx epx)]
24. [sey (- spy epy)]
25. [smxy (/
26. (+
27. (- (expt spx 2)
28. (expt mpx 2))
29. (- (expt spy 2)
30. (expt mpy 2)))
31. 2)]
32. [sexy (/
33. (+
34. (- (expt spx 2)
35. (expt epx 2))
36. (- (expt spy 2)
37. (expt epy 2)))
38. 2)]
39. [cpy (/
40. (- (* sexy smx)
41. (* smxy sex))
42. (- (* smx sey)
43. (* sex smy)))]
44. [cpx (/
45. (- smxy (* smy cpy))
46. smx)]
47. [r (sqrt
48. (+
49. (expt (- cpx epx) 2)
50. (expt (- cpy epy) 2)))])
51. (values (point cpx cpy) r)))

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三、测试程序

1. ;test.rkt
2.  
3. #lang racket/gui
4.  
5. (require racket/draw)
6. (require "3p-circle.rkt")
7.  
8. ;测试：========================
9. ;定义点：
10. (define sp (point 498 116))
11. (define mp (point 181 280))
12. (define ep (point 290 458))
13. ;定义视图：
14. (define main-frame
15. (new frame%
16. [label "3点定圆测试"]
17. [width 800]
18. [height 600]
19. [border 5]))
20. (define canvas
21. (new canvas%
22. [parent main-frame]
23. [paint-callback
24. (lambda (canvas dc)
25. (draw-circle/3p dc))]))
26. ;显示视图：
27. (send main-frame show #t)
28.  
29. ;绘圆：
30. (define (draw-circle/3p dc)
31. (let-values ([(cp r)
32. (3p-circle sp mp ep)])
33. (send dc set-background "black")
34. (send dc clear)
35. ;画圆：
36. (send dc set-pen "white" 1 'solid);'
37. (send dc set-brush "white" 'transparent);'
38. (let* ([x (- (point-x cp) r)]
39. [y (- (point-y cp) r)]
40. [w (* r 2)])
41. (send dc draw-ellipse x y w w))
42. ;画标志点：
43. (send dc set-pen "white" 0 'transparent);'
44. (send dc set-brush "red" 'solid);'
45. (draw-3ps dc)
46. (send dc set-pen "red" 1 'solid );'
47. (draw-center dc cp)))
48.  
49. ;画三个点：
50. (define (draw-3ps dc)
51. (draw-1p dc sp)
52. (draw-1p dc mp)
53. (draw-1p dc ep))
54.  
55. ;画单个点：
56. (define (draw-1p dc p)
57. (send dc draw-ellipse
58. (point-x p)
59. (point-y p)
60. 6 6))
61.  
62. ;画圆心十字叉：
63. (define (draw-center dc cp)
64. (let ([x (point-x cp)]
65. [y (point-y cp)])
66. (send dc draw-line
67. x (- y 6)
68. x (+ y 6))
69. (send dc draw-line
70. (- x 6) y
71. (+ x 6) y)))
72. ;运行结果：

73.