LeetCode32- 最长有效括号

给定一个只包含 ‘(’ 和 ‘)’ 的字符串，找出最长的包含有效括号的子串的长度。

示例 1:

输入: "(()"
输出: 2
解释: 最长有效括号子串为 "()"

示例 2:

输入: ")()())"
输出: 4
解释: 最长有效括号子串为 "()()"

一、思路

（一）动态规划

假设输入字符串s长度为n，令 $f(i)$ 表示字符串s的前i个字符所组成的子串，从第 $i$ 个字符开始，往前计算的最长有效括号长度。

我们需要注意这里的问题，具有最优子结构问题，即：长度为 $n$ 的字符串的 $f(n)$ ，必定是在长度为 $n-2$ 的字符串的 $f(n-2)$ 上得出来的

注：

我们求的是最长有效括号，不是所有括号的数量，这点要分清
$f(n)$ 不一定是最终结果，我们需要找出 $f$ 中的最大值

于是这道题目就变为了求解 $f(1)$ 到 $f(n)$ 中的最大值

我们注意到， $f(n)$ 的值可能改变的情况，只有在 $s[n]=')'$ 时，才有增加的可能性

另外，如果 $s[n]='('$ ，那么 $f(n)=0$

注意一个坑：
大体上可以将有效括号分为三类：

()()()，这一类是一般括号
((()))，这一类是嵌套括号
()()()((()))，将以上两类组合在一起，复合括号

动态规划的方程根据这三类不同的情况，其表达式也不一样

C++代码：

class Solution {
public:
	int longestValidParentheses(string s) {
		if (s.size() < 2)
			return 0;
		vector<int> dp(s.size(), 0);
		int max = 0;
		for (int i = 1; i < s.size(); i++) {
			if (s[i] == ')') {
				if (s[i - 1] == '(') {	// 找最近的
					if (i >= 2)
						dp[i] = dp[i - 2] + 2;
					else
						dp[i] = 2;
					if (dp[i] > max)
						max = dp[i];
				}
				else {	// 找最长有效括号之前的一个字符
					// j: 指向dp[i-1]最长有效括号之前的一个字符
					int j = i - dp[i - 1] - 1;
					if (j >= 0 && s[j] == '(') {
						// 长度为j-1的字符串也可能有最大有效括号长度：()(())
						if (j - 1 >= 0)
							dp[i] = dp[j - 1] + dp[i - 1] + 2;
						else // ((()))
							dp[i] = dp[i - 1] + 2;
						if (dp[i] > max)
							max = dp[i];
					}
				}
			}
		}
		return max;
	}
};

执行效率：
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