能量估计

能量估计

设 $(x_0,t_0)$(x0​,t0​) 为上半平面 $Q$Q 内任意点，通过这点向下做两条特征线 $x=x_0\pm a(t_0-t)$x=x0​±a(t0​−t) ，这两条特征线与 $x$x 轴围成的三角形区域称为以 $(x_0,t_0)$(x0​,t0​) 为顶点的特征锥，记为 $K$K 。可知 $u$u 在 $(x_0,t_0)$(x0​,t0​) 点的值只依赖于 $\varphi,\psi$φ,ψ 在依赖区间 $[x_0-at_0,x_0+at_0]$[x0​−at0​,x0​+at0​] 上的值以及 $f$f 在 $K$K 上的值。即 $u$u 在 $(x_0,t_0)$(x0​,t0​) 点的值由 $\varphi,\psi,f$φ,ψ,f 在 $K$K 上的值唯一确定。

可以对这个论断给出一个不依赖于解的表达式的直接证明，即能量不等式。

定理（能量不等式） 设 $u\in C^1(\bar Q)\cap C^2(Q)$u∈C1(Qˉ​)∩C2(Q) 是定解问题(2.1)的解，则有估计
$\int_{\Omega_\tau}[u_t^2(x,\tau)+a^2u_x^2(x.\tau)]dx\\ \le M[\int_{\Omega_0}(\psi^2+a^2\varphi^2_x)dx+\iint_{K_\tau}f^2(x,t)dxdt],\tag{0.1}$∫Ωτ​​[ut2​(x,τ)+a2ux2​(x.τ)]dx≤M[∫Ω0​​(ψ2+a2φx2​)dx+∬Kτ​​f2(x,t)dxdt],(0.1)
$\iint_{K_\tau}[u_t^2(x,t)+a^2u^2_x(x,t)]dxdt\\ \le M[\int_{\Omega_0}(\psi^2+a^2\varphi^2_x)dx+\iint_{K_\tau}f^2(x,t)dxdt].\tag{0.2}$∬Kτ​​[ut2​(x,t)+a2ux2​(x,t)]dxdt≤M[∫Ω0​​(ψ2+a2φx2​)dx+∬Kτ​​f2(x,t)dxdt].(0.2)

其中
$0\le \tau\le t_0,\\K_\tau =K\cap\{0\le t\le \tau\},\\\Omega_\tau=K\cap\{t=\tau\}=(x_0-a(t_0-\tau),x_0+a(t_0-\tau)),\\M=e^{t_0}$0≤τ≤t0​,Kτ​=K∩{0≤t≤τ},Ωτ​=K∩{t=τ}=(x0​−a(t0​−τ),x0​+a(t0​−τ)),M=et0​

Proof

Step1 在波动方程两边同乘 $\frac{\partial u}{\partial t}$∂t∂u​ 并且在 $K_\tau$Kτ​ 上积分，得到
$\iint_{K_\tau}\frac{\partial u}{\partial t}\bigg[\bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\bigg)\bigg]u dxdt=\iint_{K_\tau}\frac{\partial u}{\partial t}fdxdt\tag{1}$∬Kτ​​∂t∂u​[(∂t2∂2​−a2∂x2∂2​)]udxdt=∬Kτ​​∂t∂u​fdxdt(1)
Step2 计算上式左端积分
$u_t u_{tt}=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t}(u_t)^2,\\u_t u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)-\frac{\partial}{\partial x}(u_t)u_x=\frac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)-\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(u_x)^2.$ut​utt​=21​∂t∂​(ut​)2,ut​uxx​=∂x∂​(ut​ux​)−∂x∂​(ut​)ux​=∂x∂​(ut​ux​)−21​∂t∂​(ux​)2.
带入（1）式，得到
$\iint_{K_\tau}\bigg\{\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t}\bigg[(u_t)^2+a^2 (u_x)^2\bigg]-a^2\frac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)\bigg\}dxdt=\iint_{K_\tau}u_t fdxdt\tag{2}$∬Kτ​​{21​∂t∂​[(ut​)2+a2(ux​)2]−a2∂x∂​(ut​ux​)}dxdt=∬Kτ​​ut​fdxdt(2)
将等式左端记为 $J$J ，利用 Green 公式
$\iint_{D}\bigg(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial t}\bigg)dxdt=\oint_{\partial D}Pdx+Qdt$∬D​(∂x∂Q​−∂t∂P​)dxdt=∮∂D​Pdx+Qdt
有
$J=-\oint_{\partial K_\tau}\bigg\{\frac{1}{2} \bigg[(u_t)^2+a^2 (u_x)^2\bigg]dx+a^2(u_tu_x)dt\bigg\},\\\partial K_\tau=\Omega_\tau+\Gamma_{\tau1}+\Omega_0+\Gamma_{\tau2},\\u(x,0)=\varphi(x),\\u_t(x,0)=\psi(x).$J=−∮∂Kτ​​{21​[(ut​)2+a2(ux​)2]dx+a2(ut​ux​)dt},∂Kτ​=Ωτ​+Γτ1​+Ω0​+Γτ2​,u(x,0)=φ(x),ut​(x,0)=ψ(x).
如图，有
$J=\frac{1}{2}\int_{\Omega_\tau} \bigg[(u_t)^2+a^2 (u_x)^2\bigg]dx\\-\frac{1}{2}\int_{\Omega_0}(\psi^2+a^2\varphi_x^2)dx\\-\int_{\Gamma_{\tau 1}\cup\Gamma_{\tau 2}}\bigg\{\frac{1}{2} \bigg[(u_t)^2+a^2 (u_x)^2\bigg]dx+a^2(u_tu_x)dt\bigg\}\\=J_1+J_2+J_3.\tag{3}$J=21​∫Ωτ​​[(ut​)2+a2(ux​)2]dx−21​∫Ω0​​(ψ2+a2φx2​)dx−∫Γτ1​∪Γτ2​​{21​[(ut​)2+a2(ux​)2]dx+a2(ut​ux​)dt}=J1​+J2​+J3​.(3)
Step3 利用 $\Gamma_{\tau1},\Gamma_{\tau 2}$Γτ1​,Γτ2​ 的具体表达式证明 $J_3$J3​ 非负。

事实上，在 $\Gamma_{\tau 1}$Γτ1​ 上 $dx=adt$dx=adt ，$\Gamma_{\tau2}$Γτ2​ 上 $dx=-adt$dx=−adt ，从而
$J_3=-\frac{a}{2}\int_{\Gamma_{\tau 1}}(u_t+au_x)^2dt+\frac{a}{2}\int_{\Gamma_{\tau 2}}(u_t-au_x)^2dt$J3​=−2a​∫Γτ1​​(ut​+aux​)2dt+2a​∫Γτ2​​(ut​−aux​)2dt
注意到沿着 $\partial K_{\tau}$∂Kτ​ 的逆时针方向，在 $\Gamma_{\tau 1}$Γτ1​ 上 $dt$dt 为负，$\Gamma _{\tau 2}$Γτ2​ 上为正，故
$J_3\ge 0\tag{4}$J3​≥0(4)
将（3），（4）带入（2）得到
$\int_{\Omega_{\tau}}\bigg[(u_t)^2+a^2(u_x)^2\bigg]dx\le \int_{\Omega_0}(\psi^2+a^2\varphi_x^2)dx+2\iint_{K_\tau}u_t fdxdt.\tag{5}$∫Ωτ​​[(ut​)2+a2(ux​)2]dx≤∫Ω0​​(ψ2+a2φx2​)dx+2∬Kτ​​ut​fdxdt.(5)
Step4 根据不等式 $2ab\le a^2+b^2$2ab≤a2+b2 将（5）式最后一项化为
$2\iint_{K_\tau}u_tfdxdt\le\iint_{K_\tau}(u_t)^2dxdt+\iint_{K_\tau}f^2 dxdt$2∬Kτ​​ut​fdxdt≤∬Kτ​​(ut​)2dxdt+∬Kτ​​f2dxdt
带入不等式（5）得到
$\int_{\Omega_{\tau}}\bigg[(u_t)^2+a^2(u_x)^2\bigg]dx\le \int_{\Omega_0}(\psi^2+a^2\varphi_x^2)dx+\iint_{K_\tau}(u_t)^2dxdt+\iint_{K_\tau}f^2 dxdt\tag{6}$∫Ωτ​​[(ut​)2+a2(ux​)2]dx≤∫Ω0​​(ψ2+a2φx2​)dx+∬Kτ​​(ut​)2dxdt+∬Kτ​​f2dxdt(6)
Step5 首先由 Gronwall 不等式

$G(\tau)$G(τ) 是非负函数且在 $[0,T]$[0,T] 上连续可微，$G(0)=0$G(0)=0 ，且对 $\tau\in[0,T]$τ∈[0,T] 有
$\frac{dG(\tau)}{d\tau}\le CG(\tau)+F(\tau)\tag{1.1}$dτdG(τ)​≤CG(τ)+F(τ)(1.1)
其中 $C>0$C>0 为常数，$F(\tau)$F(τ) 是 $[0,T]$[0,T] 上不减的非负可积函数，则
$\frac{dG(\tau)}{d\tau}\le e^{C_\tau}F(\tau),\\G(\tau)\le C^{-1}(e^{C_\tau}-1)F(\tau)\tag{1.2,1.3}$dτdG(τ)​≤eCτ​F(τ),G(τ)≤C−1(eCτ​−1)F(τ)(1.2,1.3)

令
$G(\tau)=\iint_{K_\tau}[(u_t)^2+a^2(u_x)^2]dxdt\\=\int_0^\tau dt\int_{x_0-a(t_0-t)}^{x_0+a(t_0-t)}[(u_t)^2+a^2(u_x)^2]dx\\ F(\tau)=\int_{\Omega_0}(\psi^2+a^2\varphi_x^2)dx+\iint_{K_\tau}f^2 dxdt$G(τ)=∬Kτ​​[(ut​)2+a2(ux​)2]dxdt=∫0τ​dt∫x0​−a(t0​−t)x0​+a(t0​−t)​[(ut​)2+a2(ux​)2]dxF(τ)=∫Ω0​​(ψ2+a2φx2​)dx+∬Kτ​​f2dxdt
由式（6）可以得到不等式
$\frac{dG(\tau)}{d\tau}\le G(\tau)+F(\tau)$dτdG(τ)​≤G(τ)+F(τ)
根据 Gronwall 不等式得到
$\frac{dG(\tau)}{d\tau}\le e^{C_\tau}F(\tau)\\G(\tau)\le C^{-1}(e^{C_\tau}-1)F(\tau)$dτdG(τ)​≤eCτ​F(τ)G(τ)≤C−1(eCτ​−1)F(τ)
将 $e^{C_\tau},C^{-1}(e^{C_\tau}-1)$eCτ​,C−1(eCτ​−1) 分别记为 $M$M 即得到能量估计（0.1），（0.2）。定理得证。

对于弦振动问题，$\frac{1}{2}\rho u_t^2 dx$21​ρut2​dx 表示弦元素 $dx$dx 在 $t$t 时刻所具有的动能，$\frac{T}{2}u_x^2dx$2T​ux2​dx 表示弦元素 $dx$dx 在 $t$t 时刻所具有的应变能（又称势能），因此不计常数因子，表达式 $\int_{\Omega_\tau}(u_t^2+a^2u_x^2)dx$∫Ωτ​​(ut2​+a2ux2​)dx 表示弦段 $\Omega_\tau$Ωτ​ 在 $\tau$τ 时刻所具有的总能量。数学上称之为能量积分 。上述定理给出了波动方程的初值问题 $\partial_t^2 u-a^2\partial_x^2u=f$∂t2​u−a2∂x2​u=f 的解 $u$u 的能量模估计。