#算法 A*算法与搜索

授课视频：算法设计与分析(进阶篇) 5.3

1.A*简介

A算法试图寻找best-First算法的最优解，什么情况下可能是最优解？
A算法和分支界限的不同?

1. 分支界限算法的策略主要是剪掉不能得到最优解的侧枝
2. A*算法的核心是告诉我们在某些情况下, 我们得 到的解一定是优化解, 于是算法可以停止，试图尽早地发现优化解 ，常使用Best-first策略求解优化问题

2. A*算法

2.1 A*算法关键—代价函数

对于任意节点n

• $g(n)＝$g(n)＝从树根到n的代价
• $h*(n)＝$h∗(n)＝从n到目标节点的优化路径的代价
• $f*(n)＝g(n) + h*(n)$f∗(n)＝g(n)+h∗(n)是节点n的代价 。

但是如何得到h*(n)?

• 不知道

那咋办嘛？

• 估计h*(n)

怎么估计？

• 使用任何方法去估计h*(n), 用h(n)表示h*(n)的估计
• h(n)≤h*(n)总为真
• f(n)=g(n)+h(n)≤g(n)+h*(n)=f*(n)定义为n的代价

举个例子
对于一个最短路径问题:

要求输出: 发现一个从S到T的最短路径
首先我们从S点出发：

显然有 g($V_1$V1​)=2, g($V_2$V2​)=3, g($V_3$V3​)=4
然后我们再看$V_1$V1​，直观分析这个图我们可以知道这个点到T的距离$2+3=5$2+3=5，
但是在搜索的时候我们无法确定这个$2+3=5$2+3=5。在搜索的时候我们可以看到的只有$V_1$V1​的两条出边，分别是权值为$3$3的到$V_2$V2​点和权值为$2$2的到$V_4$V4​点,那么显然就有要是从$V_2$V2​出发走到T的话，走过路径的权重必然大于2与3中的最小值(2),$h^*$h∗($V_1$V1​)≥2, 那么我们就可以选择h(n)=2为$h^*$h∗($V_1$V1​)的估计值
则$f(V_1)=g(V_1)+h(V_1)=4$f(V1​)=g(V1​)+h(V1​)=4为对$V_1$V1​估算的代价

2.2 A*算法本质—已经发现的解是优化解

定理1 使用Best-first策略搜索树, 如果A*选择的节点是目标节点, 则该节点表示的解是优化解.
证明. 令n是任意扩展到的节点, t是选中目标节点.
往证：$f(t)=g(t)$f(t)=g(t) 是优化解代价.
(1)A算法使用Best-first策略, $f(t)≤f(n)$f(t)≤f(n). (Best-first总选择代价最小的扩展)
(2)A算法使用$h(n)≤h*(n)$h(n)≤h∗(n) 估计规则,$f(t)≤f(n)≤f^*(n)$f(t)≤f(n)≤f∗(n).
(3) {$f^*$f∗(n) }中必有一个为优化解的代价, 令其为$f^*(s)$f∗(s). 我 们有$f(t)≤f^*(s)$f(t)≤f∗(s)
(4). $t$t是目标节点$h(t)=0$h(t)=0, 所以$f(t)=g(t)+h(t)=g(t)≤f^*(s)$f(t)=g(t)+h(t)=g(t)≤f∗(s).
(5).$f(t)=g(t)$f(t)=g(t)是一个可能解, $g(t)≤f^*(s)$g(t)≤f∗(s), $f(t)=g(t)=f^*(s)$f(t)=g(t)=f∗(s).

2.3 如何使用A*算法？

1. 使用Best-first策略搜索树;
2. 节点n的代价函数为$f(n)=g(n)+h(n)$f(n)=g(n)+h(n), $g(n)$g(n)是从 根到n的路径代价, $ h(n)$是从n到某个目标节点的优化路径代价;
3. 对于所有$n$n, 保证$h(n)≤h^*(n)$h(n)≤h∗(n);
4. 当选择到的节点是目标节点时, 算法停止, 返回一个优化解.

2.4 A*实战

问题的输入：

首先我们从S点出发：

$g(V_1)=2 ;g(V_3)=4 ;g(V_2)=3$g(V1​)=2;g(V3​)=4;g(V2​)=3
$h(V_1)=$h(V1​)=min{2,3}$=2$=2 ;$h(V_3)=$h(V3​)=min{2}$=2;$=2; $h(V_2)=$h(V2​)=min{2,2}$=2$=2
$f(V_1)=2+2=4$f(V1​)=2+2=4 ;$f(V_3)=4+2=6$f(V3​)=4+2=6;$f(V_2)=2+2=5$f(V2​)=2+2=5
然后对$f()$f()函数大小进行比较，选择$V_1$V1​ 继续拓展

每次拓展之后，选择$f()$f()函数大小最小的继续拓展





直到拓展到所有节点中目标节点为代价最小的节点
那么我们就可以把$T$T拿出来得到最优解
因为T是目标节点, 所以我们得到解:
$S→ V_1→V_4→T$S→V1​→V4​→T

以上就是一个A*算法的扩展流程

3.练习题

1. 批处理作业调度问题：有N个作业，分别是J1, J2, …, Jn。有2台机器。每一个作业Ji需要分别在机器1、机器2上完成。每个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理。作业Ji需要机器j处理的时间为tji（1<=i<=n, j=1或2）。
   对于一种作业调度方案，所有作业在机器2上最终完成处理的时间点Fji的总和称为作业调度的完成时间和。
   求解最佳调度方案使其完成时间和最小。

2. 素数环问题：对于正整数N，把从1到N的正整数无重复地排列成一个环，使相邻两个数的和均为素数。求解给定正整数N时的所有可行方案。例：N6时，存在“1 4 3 2 5 6”、“1 6 5 2 3 4”两个答案；N3时，无答案。

3. 生日蛋糕问题：制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕（N<=10000, M<=20），每层都是一个圆柱体。设第i层蛋糕的为半径Ri、高度Hi的圆柱，满足Ri>Ri+1、Hi>Hi+1（i==M时除外）。现需求解一个方案使外表面面积最小。外表面面积不统计最下面一层蛋糕的下底面。

1. 请写出利用A算法求解下图中S到T最短路径的计算过程，请设计其中的代价函数并说明其满足A算法所需要的条件。
   
   5.利用A*搜索计算下图中S到T的最短路径，要求写出计算过程
   
2. 给定一个图，设计A*算法求其前k最短路径，要求写出伪代码并证明算法能得到最优解。
3. 设计A*算法求解TSP问题，要求写出伪代码并证明算法能得到最优解。
4. 判断对错： A*算法一定能够得到最优解
5. 比较best-first算法和A*算法