Floyd判圈算法

leetcode习题287 Find the Duplicate Number 在答案中看到了floyd’s tortoise and hare 算法，知道了如果有限状态机、迭代函数或者链表存在环，那么是需要算法检测环是否存在。检测算法有三种:Floyd龟兔算法、Brent算法、Gosper算法。

Floyd龟兔算法

算法描述

Floyd龟兔算法是一种指针算法。该算法仅使用移动速度不同的两个指针就能检测出是否有环。Floyd龟兔算法解决以下问题：1检测是否有环。2环的起点节点。3环的长度。
1 检测是否有环。
想象在一个环形跑道上跑步，两个人同时出发，出发以后速度快的人终究会在某一点和速度慢的人相遇。一般这个时候相遇，速度快的人比速度慢的人至少多跑一圈。

我们假设列表的开始节点是S，环上的起始节点是P，第一次相遇的节点是M。S和P的距离是p，P和M的距离是m。指针t和h初始状态下都指向S。接着t每次只有1步，h每次走2步。只要二者没有相遇，就一直按着这个速度走下去。当h无法前进（到达队列末尾）的时候，可以判断没有环。如果t和h在某点再次相遇，则确定有环。
举一个迭代函数的例子。有函数f定义域和值域都是 S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}，从x0=2$x_0=2$开始，不断重复调用f，能够产生一个序列：2,0,6,3,1,6,3,1,6,3,1….产生了一个环：6,3,1。

定义：S是一个有限集合，f是一个函数，从S到S的一个映射，x0$x_0$可以是S中的任意一个元素。对于任意的i>0$i>0$，xi=f(xi−1)$x_i=f(x_{i-1})$。μ$\mu$是换上的起点节点的最小下标，λ$\lambda$是环的长度。一定有xμ=xλ+μ$x_{\mu }=x_{\lambda +\mu }$
证明：如果有环存在，则对于任意的整数i>=μ$i>=\mu$并且k>0$k>0$，都有xi=xi+kλ$x_i=x_{i+k\lambda }$。对于特定的k来讲，一定存在使得i=kλ$i=k\lambda$，那这时候xi=x2i$x_i=x_{2i}$。至此，说明了速度不同的两个指针可以在某点相遇。

2 计算环长度
当t和h相遇在M点。这时候保存h不动，t按之前的速度继续前进，直到和h再次相遇，这个过程中移动的步数就是环的长度。

3 环的起始节点确定
在确定是否有环的过程中，h走的距离是t走的距离的2倍。t走的距离是 s1=p+m+a∗λ$s1=p+m+a\ast \lambda$，h走的距离是2∗s1=p+m+b∗λ$2\ast s1=p+m+b\ast \lambda$，得到s1=(b−a)∗λ$s1=(b-a)\ast \lambda$，也就是说t走的距离是环长度的整数倍，进一步得到p+m+a∗λ=(b−a)∗λ$p+m+a\ast \lambda =(b-a)\ast \lambda$，p+m=(b−2∗a)∗λ$p+m=(b-2\ast a)\ast \lambda$，p+m是环长度的整数倍。
t和h相遇在M点，为了找到环的起点，令h不动，t返回S点，随后同时推进t和h，速度相同，每次前进一步，直到t和h再次相遇。假设他们再次相遇的点是P。证明是否可行。
证明：t从S到P的距离是p，M点相对于P的距离是m，h从M点走过p的距离后：p+m是环长度的整数倍，所以h也一定到达了环的起点P。
第二种的证明：相遇点M的下标i=kλ$i=k\lambda$，当t从S到P移动距离p到达点的下标是p；同时放在M的指针h移动到点的下标是：i+p=kλ+p$i+p=k\lambda +p$，从定义可以知xp=xp+kλ$x_p=x_{p+k\lambda }$，可以证明两指针在P点相遇。

算法时间复杂度：令S到P的距离为m，环的长度为n，时间复杂度O(m+n)$O(m+n)$。
空间复杂度：O(1)。

参考
网页1
网页2
网页3