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不同的基可以对同样一组数据给出不同的表示，而且如果基的数量少于向量本身的维数，则可以达到降维的效果。
如果我们必须使用一维来表示这些数据，又希望尽量保留原始的信息，你要如何选择？
通过上一节对基变换的讨论我们知道，这个问题实际上是要在二维平面中选择一个方向，将所有数据都投影到这个方向所在直线上，用投影值表示原始记录。这是一个实际的二维降到一维的问题。
我们希望投影后投影值尽可能分散，而这种分散程度，可以用数学上的方差来表述。此处，一个字段的方差可以看做是每个元素与字段均值的差的平方和的均值，即：
由于上面我们已经将每个字段的均值都化为0了，因此方差可以直接用每个元素的平方和除以元素个数表示：
于是上面的问题被形式化表述为：寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，方差值最大。
对于上面二维降成一维的问题来说，找到那个使得方差最大的方向就可以了。不过对于更高维，还有一个问题需要解决。考虑三维降到二维问题。与之前相同，首先我们希望找到一个方向使得投影后方差最大，这样就完成了第一个方向的选择，继而我们选择第二个投影方向。
如果我们还是单纯只选择方差最大的方向，很明显，这个方向与第一个方向应该是“几乎重合在一起”，显然这样的维度是没有用的，因此，应该有其他约束条件。从直观上说，让两个字段尽可能表示更多的原始信息，我们是不希望它们之间存在（线性）相关性的，因为相关性意味着两个字段不是完全独立，必然存在重复表示的信息。
数学上可以用两个字段的协方差表示其相关性，由于已经让每个字段均值为0，则：
可以看到，在字段均值为0的情况下，两个字段的协方差简洁的表示为其内积除以元素数m。
当协方差为0时，表示两个字段完全独立。为了让协方差为0，我们选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上选择。因此最终选择的两个方向一定是正交的。
至此，我们得到了降维问题的优化目标：将一组N维向量降为K维（K大于0，小于N），其目标是选择K个单位（模为1）正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，而字段的方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的K个方差）。
假设我们只有a和b两个字段，那么我们将它们按行组成矩阵X：
然后我们用X乘以X的转置，并乘上系数1/m：
奇迹出现了！这个矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是a和b的协方差。两者被统一到了一个矩阵的。
根据上述推导，我们发现要达到优化目的(不同字段协方差为0)，等价于将协方差矩阵对角化：即除对角线外的其它元素化为0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列，这样我们就达到了优化目的。
基变换后的数据。设Y的协方差矩阵为D，我们推导一下D与C的关系：
现在事情很明白了！我们要找的P不是别的，而是能让原始协方差矩阵对角化的P。换句话说，优化目标变成了寻找一个矩阵P，满足是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么P的前K行就是要寻找的基，用P的前K行组成的矩阵乘以X就使得X从N维降到了K维并满足上述优化条件。
由上文知道，协方差矩阵是一个是对称矩阵，在线性代数上，实对称矩阵有一系列非常好的性质：
1）实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必然正交。
2）设特征向量重数为r，则必然存在r个线性无关的特征向量对应于
，因此可以将这r个特征向量单位正交化。
由上面两条可知，一个行
列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量，设这
个特征向量为
，我们将其按列组成矩阵：
则对协方差矩阵C有如下结论：
其中为对角矩阵，其对角元素为各特征向量对应的特征值（可能有重复）。
则伪代码：