数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（二）

文章目录

• 1.2线性映射或变换的几何意义
• 线性映射的几何意义
• 线性变换的几何意义
• 1.3概念初窥
• 向量
• 行列式
• 矩阵
• 线性方程组
• 二次型

1.2线性映射或变换的几何意义

线性映射的几何意义

  图中给出了一元线性齐次函数$f(x)=kx$f(x)=kx当$k$k取不同的数时的映射关系，在三个图中，由一个共性就是元素0必然映射到元素0.
  在集合上建立坐标系，用坐标系里的点表示集合里的元素，就可以把映射关系几何化。
  用坐标轴上点的映射关系来替代集合的映射表示法，可以得到下图：

  如果把两个坐标轴的原点进行重合（因为0元素必然映射到0元素），再把两个坐标轴的夹角调整到$\frac{\pi}{2}$2π​角，就得到了笛卡尔平面坐标系。

  如上图左，$x$x轴上的点$a$a和$b$b等等分别映射到$y$y轴上的点$a'$a′和$b'$b′等等。
  如果把点$a、a'、b和b'$a、a′、b和b′分别与原点$o$o连起来，就会得到线段。
  所以，线性映射就是把线段映射到线段，称线段为向量，即线性映射就是把向量变成另外一个向量。
  线性映射满足可加性和比例性。
  二维的线性函数式，就是把一个平面上的线映射为另一个平面上的线。

  线性映射的基本要求是：平面$\pi_1$π1​的原点$o$o始终映射到另一个平面$\pi_2$π2​的原点$o$o.
  一个平面上的圆经过规则可以被映射成圆、椭圆或者一根线段，特别情况下被映射成一个点（这个点必然落在原点上），大多数情况下被映射为椭圆。

线性变换的几何意义

  线性映射和线性变换是两个不同的概念。如果映射是发生在一个集合上的同一个坐标系中，线性映射就称为线性变换。线性变换是线性映射的特例，就是把集合上的两个坐标系合为一个。

1.3概念初窥

向量

  “向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。

行列式

  行列式出现于线性方程组的求解。

矩阵

  在逻辑上，“矩阵”的概念先于“行列式”的概念。

线性方程组

  $n$n个$n$n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
  大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。

二次型

  “二次型”也称为“二次形式”，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。