数据压缩读书笔记——线性代数的几何意义（一）

文章目录

• 第一章 什么是线性代数
• 1.1“线性”的意义
• 可加性的物理意义
• 高等的线性概念
• 多元线性函数的几何意义

第一章 什么是线性代数

  所有类型的线性空间都和直线、平面、三维立体以及高维正交空间的变换性质一样，所有类型的线性空间里的元素都可以和$R^n$Rn空间的点（向量）相互对应。

1.1“线性”的意义

  为了线性函数的进一步推广（双线性函数、多线性函数、线性空间、线性泛函……）的，将$f(x)=kx$f(x)=kx的形式称为一元线性函数。

线性的几何意义：线性函数表现为直线。
线性的代数意义：可加性、比例性
  即$f(k_1x_1+k_2x_2)=k_1f(x_1)+k_2f(x_2)$f(k1​x1​+k2​x2​)=k1​f(x1​)+k2​f(x2​),其中$k_1,k_2$k1​,k2​是常数

可加性的物理意义

  线性函数的可加性表明函数所描述的事物具有累加性，所有起因的累加所导致的结果完全等于每个起因独自所引起的结果的累加。
  可加性既是没有互相激励的累加，也是没有互相内耗的累加。

高等的线性概念

  方程组是由$m$m个$n$n元线性函数组成的，且这$m$m个线性函数都是过原点的函数。

1. 初等线性函数的自变量由一个数$x$x扩展定义为一个竖排的数组$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎛​x1​x2​⋯xn​​⎠⎟⎟⎞​,因变量一个数$y$y也扩展定义为一个竖排的数组$\begin{pmatrix}x_1\\y_2\\ \cdots \\y_m \end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎛​x1​y2​⋯ym​​⎠⎟⎟⎞​,这些$n$n元数组和$m$m元数组称之为列向量。
2. 初等函数的比例系数$k$k扩展为由所有的$k_{ij}$kij​构成一个的数的方阵，称之为系数矩阵如下：$\begin{bmatrix} k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k_{m1}&k_{m2}&\cdots & k_{mn}\end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​k11​k21​⋯km1​​k12​k22​⋯km2​​⋯⋯⋯⋯​k1n​k2n​⋯kmn​​⎦⎥⎥⎤​
3. 然后定义了一种系数矩阵与向量想成运算法则，将线性方程组改写为：$\begin{pmatrix}x_1\\y_2\\ \cdots \\y_m \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k_{m1}&k_{m2}&\cdots & k_{mn}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix}$⎝⎜⎜⎛​x1​y2​⋯ym​​⎠⎟⎟⎞​=⎣⎢⎢⎡​k11​k21​⋯km1​​k12​k22​⋯km2​​⋯⋯⋯⋯​k1n​k2n​⋯kmn​​⎦⎥⎥⎤​⎝⎜⎜⎛​x1​x2​⋯xn​​⎠⎟⎟⎞​
4. 上述形式进一步可以简化为：$\stackrel{\rightharpoonup}{y}=f(\stackrel{\rightharpoonup}{x})=\stackrel{\rightharpoonup}{K}\cdot\stackrel{\rightharpoonup}{x}$y⇀​=f(x⇀)=K⇀​⋅x⇀
     此时，初等线性函数和高等线性函数的概念终于得到了形式上统一。

多元线性函数的几何意义

  线性函数$f(x_1,x_2)=k_1x_1+k_2x_2$f(x1​,x2​)=k1​x1​+k2​x2​的几何图形是一个过原点平面。
  可以想象，由二元线性函数$f(x_1,x_2)=k_1x_1+k_2x_2$f(x1​,x2​)=k1​x1​+k2​x2​继续扩展到三元及$n$n的线性函数后，其几何图形仍然是一个“平面”，是一个扩展意义上的平面，常称为超平面。