An Improved Differential Evolution Algorithm for Unconstrained Optimization Problems

An Improved Differential Evolution Algorithm for Unconstrained Optimization Problems （用于无约束优化问题改进的差分进化算法 ）

1.算法背景及策略：

传统差分演化（DE）算法具有过早收敛的倾向。 本算法提出了一种基于动态变异算子和反对学习策略的改进型DE。 这些机制可以扩大搜索范围，有助于平衡DE的探索和开发。

2.算法步骤：

（1）初始化随机生成种群,执行经典DE算法中的变异，交叉，选择操作

（2）动态变异算子：

高斯分布和柯西分布是随机变量的主要分布函数。当n趋于无穷大时，t分布趋于高斯分布。当n为1时，t分布变化为Cauchy分布。 T分布和柯西分布将平衡算法中的探索和利用。

构建以下变异算子：

kXij(t)=Xij(t)+1kρ,Xij(t)=Xij(t)+1kη,=2dj+∑NPi=1D(G(t)−Xi(t))NP$$\begin{array}{rl}& X_j^i(t)=X_j^i(t)+{\displaystyle \frac{1}{k}\rho ,}\\ & X_j^i(t)=X_j^i(t)+\frac{1}{k}\eta ,\\ k& ={\displaystyle \frac{2}{d_j}+\frac{\sum _{i=1}^{NP}D(G(t)-X^i(t))}{NP}}\end{array}$$

其中dj$d_j$是第j维间隔的长度，D（G（t）−Xi（t））$D（G（t）-X^i（t））$是全局最优位置和第i个个体位置的欧几里德距离。 ∑NPi=1D(G(t)−Xi(t))${\sum }_{i=1}^{NP}D(G(t)-X^i(t))$表示群体聚集水平，显然变异算子是动态的，随机选择三个个体适应性较差，经过变异算子更新，可以保持种群多样性，深入发展搜索区域，避免陷入局部最优。

（3）反向学习：

反向学习（OBL）经常被应用于许多最优算法。 OBL的主要思想是计算和评估可行解及其相反方向解。 选择更好的解决方案进入下一代。

让XI=(xi1,xi2,⋯,xiND)$X^I=(x_1^i,x_2^i,\cdots ,x_{ND}^i)$是搜索区域中的一个可行解，其中xj∈[aj,bj]$x_j\in [a_j,b_j]$,则反向点可以定义如下

x¯ij=aj+bj−xij.$${\overline{x}}_j^i=a_j+b_j-x_j^i.$$

让Xi=(xi1,xi2,⋯,xiND)$X^i=(x_1^i,x_2^i,\cdots ,x_{ND}^i)$是种群中的一个个体，Xi∗=(xi∗1,xi∗2,⋯,xi∗ND)$X^{i\ast }=(x_1^{i\ast },x_2^{i\ast },\cdots ,x_{ND}^{i\ast })$是这个个体的优化值，反向解定义如下:

xi∗j=k(daj+dbj)−xi∗j,$$x_j^{i^{\ast }}=k(d{a}_j+d{b}_j)-x_j^{i^{\ast }},$$

k是随机数，[daj,dbj]$[d{a}_j,d{b}_j]$是第j维搜索区域的动态边界,daj=min(xij),dbj=max(xij).$d{a}_j={\displaystyle min(x_{ij}),d{b}_j=max(x_{ij}).}$

如果反向解超过搜索区域：xij=rand(aj,bj)  if  xij<aj  or  xij>bj,$x_j^i=rand(a_j,b_j)if{x}_j^i<a_{j}or{x}_j^i>b_j,$

（3）结论：1997年以来，提出了许多新的提出的DE算法。然而，其中大多数集中在选择适当的控制参数。 在本算法中提出了两种不同的方法来平衡DE算法的探索和利用。 动态变异算子和基于对立的学习与DE结合。实验执行效果比DE要好。