机器学习|泊松分布+正态分布|10mins入门|概统学习笔记（六）

泊松分布

• 定义：一种离散型分布，是二项分布的泊松近似

  设随机变量X所有可能取的值为0,1,…,且概率分布为：
  $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, \quad k=0,1,2,....$P(X=k)=e−λk!λk​,k=0,1,2,....
  其中$\lambda>0$λ>0是常数，且$\lambda=np$λ=np则称X服从参数为$\lambda$λ的泊松分布，记作$X$X~$P(\lambda)$P(λ)

• 稀有事件：每次试验中出现概率很小的事件

• 由泊松定理知，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似低服从泊松分布

• 泊松分布产生的一般条件

  • 随机事件流：随机时刻相继出现的事件所形成的序列

  • 泊松事件流：具有平稳性、无后效性、普通型的事件流

    • 平稳性：在任意时间区间内，事件发生k次($k\geq 0$k≥0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关。
    • 无后效性：在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的。
    • 普通性：如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计

    e.g 某机场降落的飞机数，某电话交换台收到的电话呼叫数

  • 泊松事件流强度$\lambda$λ：在任意时间间隔(0,t)内，事件（如交通事故）出现的次数服从参数为$\lambda$λ

7.正态分布

• 定义：是一种连续型分布,是二项概率的一个近似公式，又称高斯分布

  若随机变量X的概率密度为
  $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt {2\pi}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}), \quad -\infty<x<\infty$f(x)=σ2π​1​exp(−2σ2(x−μ)2​),−∞<x<∞
  其中$\mu$μ和$\sigma^2$σ2都是常数，$\mu$μ任意，$\sigma>0$σ>0，则称X服从参数为$\mu$μ和$\sigma^2$σ2的正态分布，记作$X$X~$N(\mu,\sigma^2)$N(μ,σ2)，f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。

  正态分布由它的两个参数$\mu$μ和$\sigma$σ唯一确定，当$\mu$μ和$\sigma$σ不同时，是不同的正态分布

• 正态分布$N(\mu,\sigma^2)$N(μ,σ2)的图形特点

$\mu$μ决定了图形的中心位置

$\sigma$σ决定了图形中锋的陡峭程度

• 若$X$X~$N(\mu,\sigma^2)$N(μ,σ2)，X的分布函数是
  $F(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xexp(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}dt),\quad -\infty<x<\infty$F(x)=σ2π​1​∫−∞x​exp(−2σ2(t−μ)2​dt),−∞<x<∞

• 标准正态分布：$\mu=0$μ=0,$\sigma=1$σ=1的正态分布

  概率密度函数:
  $\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^2}{2}), \quad -\infty<x<\infty$ψ(x)=2π​1​exp(−2x2​),−∞<x<∞

分布函数：
$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xexp(-\frac{t^2}{2})dt$ϕ(x)=2π​1​∫−∞x​exp(−2t2​)dt

• 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布

  定理:设$X$X ~ $N(\mu,\sigma^2)$N(μ,σ2),则$Y=\frac{X-\mu}{\sigma}$Y=σX−μ​~$N(0,1)$N(0,1)

  因此只需将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题