多维随机变量及其分布

二维随机变量

一般，设E$E$为一个随机试验，它的样本空间是S={e}$S=\{e\}$,设X=X(e)$X=X(e)$和Y=Y(e)$Y=Y(e)$是定义在S$S$上的随机变量，由他们构成的一个向量(X,Y)$(X,Y)$叫做二维随机向量，或者二维随机变量。
分布函数
设(X,Y)$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数x,y$x,y$，二元函数：

F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=记成P{X≤x,Y≤y}$$F(x,y)=P\{(X\le x)\cap (Y\le y)\}\stackrel{记成}{=}P\{X\le x,Y\le y\}$$

称为二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$的分布函数，或称为随机变量X$X$和Y$Y$的联合分布函数。

分布函数F(x,y)$F(x,y)$的性质
1∘$1^{\circ }$
F(x,y)$F(x,y)$是变量x$x$和y$y$的不减函数，即对任意固定的y$y$，当x2>x1$x_2>x_1$时,F(x2,y)≥F(x1,y)$F(x_2,y)\ge F(x_1,y)$；对于任意固定的x$x$，当y2≥y1$y_2\ge y_1$时F(x,y2)≥F(x,y1)$F(x,y_2)\ge F(x,y_1)$
2∘$2^{\circ }$
0≤F(x,y)≤1$0\le F(x,y)\le 1$且

对于任意固定的y$y$,F(−∞,y)=0$F(-\mathrm{\infty },y)=0$
对于任意固定的x$x$,F(x,−∞)=0$F(x,-\mathrm{\infty })=0$
F(−∞,+∞)=0,F(+∞,+∞)=1$F(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=0,F(+\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=1$


3∘$3^{\circ }$

F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)$$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)$$

,即对于F(x,y)$F(x,y)$关于x$x$右连续，关于y$y$也右连续。
4∘$4^{\circ }$
对于任意(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2$(x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2$下面不等式成立：

F(x2,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)−F(x1,y2)≥0$$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\ge 0$$

离散型随机变量

如果二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$所有可能取值为(xi,yi),i,j=1,2,⋯$(x_i,y_i),i,j=1,2,\cdots$，记P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,⋯$P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$，则由概率的定义有

pij≥0,∑i=1∞∑j=1∞pij=1$$p_{ij}\ge 0,\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=1$$

我们称P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,⋯$P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$为二维离散型随机变量(X,Y)$(X,Y)$的分布律，或称随机变量X$X$和Y$Y$的联合分布律
我们可以使用表格来表示X$X$和Y$Y$的联合分布律
与一维随机变量类似，对二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$的分布函数F(x,y)$F(x,y)$，如果存在非负可积函数f(x,y)$f(x,y)$使得对于任意x,y$x,y$有

F(x,y)=∫y−∞∫x−∞f(u,v)dudv$$F(x,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^y{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f(u,v)\mathbb{d}u\mathbb{d}v$$

则称(X,Y)$(X,Y)$是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)$f(x,y)$称为二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$的概率密度，或称为联合随机变量X$X$和Y$Y$的联合概率密度。
按照定义，概率密度f(x,y)$f(x,y)$具有以下性质：
1∘$1^{\circ }$:f(x,y)≥0$f(x,y)\ge 0$.
2∘$2^{\circ }$:∫+∞−∞∫+∞−∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathbb{d}x\mathbb{d}y=F(+\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=1$
3∘$3^{\circ }$:
假设G$G$是xOy$xOy$平面上的区域，点(X,Y)$(X,Y)$落在G$G$内的概率为

P{(X,Y)∈G}=∫∫Gf(x,y)dxdy$$P\{(X,Y)\in G\}=\underset{G}{\int \int }f(x,y)\mathbb{d}x\mathbb{d}y$$

4∘$4^{\circ }$:
若f(x,y)$f(x,y)$在点(x,y)$(x,y)$连续，则有

∂2F(x,y)∂x∂y=f(x,y)$${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}F(x,y)}{\mathrm{\partial }x\mathrm{\partial }y}}=f(x,y)$$

边缘分布

二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$作为一个整体，具有分布函数F(x,y)$F(x,y)$。而X$X$和Y$Y$都是随机变量，各自也有相应分布函数，将他们分布记为FX(x)，FY(y)$F_X(x)，F_Y(y)$，依次称为二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$关于X$X$和关于Y$Y$的边缘分布函数。
边缘分布函数可以由(X,Y)$(X,Y)$的分布函数F(x,y)$F(x,y)$所确定，事实上：

FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)$$F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<\mathrm{\infty }\}=F(x,\mathrm{\infty })$$

即：

FX(x)=F(x,∞)FY(y)=F(∞,y)$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,\mathrm{\infty }) \\ {F}_Y(y)=F(\mathrm{\infty },y) \end{gathered}$$

离散随机变量

FX(x)=F(x,+∞)=∑xi≤x∑j=1∞pij$$F_X(x)=F(x,+\mathrm{\infty })=\sum _{x_i\le x}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}$$

X$X$的分布律为：

P{X=xi}=∑j=1∞pij,i=1,2,⋯$$P\{X=x_i\}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij},i=1,2,\cdots$$

Y$Y$的分布律为：

P{Y=yi}=∑i=1∞pij,j=1,2,⋯$$P\{Y=y_i\}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij},j=1,2,\cdots$$

记：

pi⋅=∑j=1∞pij=P{X=xi},i=1,2,⋯$$p_{i\cdot }=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=P\{X=x_i\},i=1,2,\cdots$$

p⋅j=∑i=1∞pij=P{Y=yj},j=1,2,⋯$$p_{\cdot j}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}=P\{Y=y_j\},j=1,2,\cdots$$

分别称pi⋅(i=1,2,⋯)$p_{i\cdot }(i=1,2,\cdots )$和p⋅j(j=1,2,⋯)$p_{\cdot j}(j=1,2,\cdots )$为(X,Y)$(X,Y)$关于X$X$和Y$Y$的边缘分布律.

连续型随机变量

(X,Y)$(X,Y)$,设他的概率密度为f(x,y)$f(x,y)$，由于

FX(x)=F(x,∞)=∫x−∞[∫∞−∞f(x,y)dy]dx$$F_X(x)=F(x,\mathrm{\infty })={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\left[{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathbb{d}y\right]\mathbb{d}x$$

X$X$是一个连续型随机变量，且其概率密度为：

fX(x)=∫∞−∞f(x,y)dy$$f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathbb{d}y$$

Y$Y$是一个连续型随机变量，且其概率密度为：

fY(y)=∫∞−∞f(x,y)dx$$f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathbb{d}x$$

分布称fX(x)$f_X(x)$和fY(x)$f_Y(x)$为(X,Y)$(X,Y)$关于X$X$和关于Y$Y$的边缘概率密度。

二维正态分布

设二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$的概率密度为

f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√exp{−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ21−2ρ(x−μ1)(x−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22]}$$f(x,y)={\displaystyle \frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}}\exp \left\{{\displaystyle \frac{-1}{2(1-{\rho }^2)}}\left[{\displaystyle \frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}}-2\rho {\displaystyle \frac{(x-{\mu }_1)(x-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}}+{\displaystyle \frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}}\right]\right\}$$

其中μ1,μ2,σ1,σ2,ρ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$都是常数，且σ1>0,σ2>0,−1<ρ<1${\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,-1<\rho <1$。我们称(X,Y)$(X,Y)$为服从μ1,μ2,σ1,σ2,ρ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$的二维正态分布。
记为：

(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ)$$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$$

另一种表示方法:

X=(x1x2),μ=(μ1μ2)$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right),\mu =\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_2\end{array}\right)$$

(X1,X2)$(X_1,X_2)$的协方差矩阵为：

C=(c11c21c12c22)=(σ21ρσ1σ2ρσ1σ2σ22)$$C=\left(\begin{array}{cc}{c}_{11}& c_{12}\\ c_{21}& c_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& \rho {\sigma }_1{\sigma }_2\\ \rho {\sigma }_1{\sigma }_2& {\sigma }_2^2\end{array}\right)$$

它的行列式为：detC=σ21σ22(1−ρ2)$detC={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2(1-{\rho }^2)$
C$C$的逆矩阵为：

C−1=1detC(σ22−ρσ1σ2−ρσ1σ2σ21)$$C^{-1}={\displaystyle \frac{1}{detC}}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_2^2& -\rho {\sigma }_1{\sigma }_2\\ -\rho {\sigma }_1{\sigma }_2& {\sigma }_1^2\end{array}\right)$$

(X−μ)TC−1(X−μ)=1detC(x1−μ1x2−μ2)(σ22−ρσ1σ2−ρσ1σ2σ21)(x1−μ1x2−μ2)=11−ρ2[(x−μ1)2σ21−2ρ(x−μ1)(x−μ2)σ1σ2+(y−μ2)2σ22]$$\begin{array}{rl}{\left(\begin{array}{c}X-\mu \end{array}\right)}^T{C}^{-1}\left(\begin{array}{c}X-\mu \end{array}\right)& ={\displaystyle \frac{1}{detC}}\left(\begin{array}{cc}{x}_1-{\mu }_1& x_2-{\mu }_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_2^2& -\rho {\sigma }_1{\sigma }_2\\ -\rho {\sigma }_1{\sigma }_2& {\sigma }_1^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1-{\mu }_1\\ x_2-{\mu }_2\end{array}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{1-{\rho }^2}}\left[{\displaystyle \frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}}-2\rho {\displaystyle \frac{(x-{\mu }_1)(x-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}}+{\displaystyle \frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}}\right]\end{array}$$

于是(X1,X2)$(X_1,X_2)$的概率密度可以写成：

f(x1,x2)=1(2π)2/2(detC)1/2exp{−12(X−μ)TC−1(X−μ)}$$\begin{array}{r}f(x_1,x_2)={\displaystyle \frac{1}{(2\pi {)}^{2/2}(detC{)}^{1/2}}}\exp \left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}}(X-\mu {)}^T{C}^{-1}(X-\mu )\right\}\end{array}$$

条件分布

设(X,Y)$(X,Y)$是二维离散型随机变量，其分布律为：

P{X=x,Y=yi}=pij,i,j=1,2,⋯$$P\{X=x,Y=y_i\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$$

(X,Y)$(X,Y)$关于 X$X$和关于Y$Y$的边缘分布律分别为：

---

P{X=xi}=pi⋅=∑i=1∞pij,i=1,2,⋯P{Y=yi}=p⋅j=∑j=1∞pij,j=1,2,⋯$$\begin{gathered} P\{X=x_i\}=p_{i\cdot }=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij},i=1,2,\cdots \\ P\{Y=y_i\}=p_{\cdot j}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij},j=1,2,\cdots \end{gathered}$$

---

设p⋅j>0$p_{\cdot j}>0$，考虑在事件{Y=yj}$\{Y=y_j\}$已经发生的条件下事件{X=xi}$\{X=x_i\}$发生的概率，也就是求事件

{X=xi∣Y=yj},j=1,2,⋯$$\{X=x_i\mid Y=y_j\},j=1,2,\cdots$$

的概率，由条件概率公式，可得

P{X=xi∣Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp⋅j,i=1,2,⋯$$P\{X=x_i\mid Y=y_j\}={\displaystyle \frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}}={\displaystyle \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}},i=1,2,\cdots$$

上面条件概率具有分布律的性质：

1∘P{X=xi∣Y=yj}≥0;2∘∑i=1∞P{X=xi∣Y=yj}=∑i=1∞pijp⋅j=1p⋅j∑i=1∞pij=p⋅jp⋅j=1$$\begin{array}{rl}& 1^{\circ }P\{X=x_i\mid Y=y_j\}\ge 0;\\ & 2^{\circ }\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}}={\displaystyle \frac{1}{p_{\cdot j}}}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_{ij}={\displaystyle \frac{p_{\cdot j}}{p_{\cdot j}}}=1\end{array}$$

定义：
设(X,Y)$(X,Y)$是二维离散型随机变量，
对于固定的j$j$,若P{Y=yj}>0$P\{Y=y_j\}>0$则称：

P{X=xi∣Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp⋅j,i=1,2,⋯$$P\{X=x_i\mid Y=y_j\}={\displaystyle \frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}}={\displaystyle \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}},i=1,2,\cdots$$

为在Y=yj$Y=y_j$条件下随机变量X$X$的条件分布律

---

同样对于固定的i$i$,若P{X=xi}>0$P\{X=x_i\}>0$，则称

P{Y=yj∣X=xi}=P{X=xi,Y=yj}P{X=xi}=pijpi⋅,j=1,2,⋯$$P\{Y=y_j\mid X=x_i\}={\displaystyle \frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}}={\displaystyle \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }}},j=1,2,\cdots$$

为在X=xj$X=x_j$条件下随机变量Y$Y$的条件分布律

定义：
设二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$的概率密度为f(x,y)$f(x,y)$，(X,Y)$(X,Y)$关于Y$Y$的边缘概率密度fY(y)$f_Y(y)$。若对于固定的y$y$,fY(y)>0$f_Y(y)>0$,则称f(x,y)fY(y)${\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}$为在Y=y$Y=y$的条件下X$X$的条件概率密度，记为：

fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)$$f_{X\mid Y}(x\mid y)={\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}$$

称∫x−∞fX∣Y(x∣y)dx=∫x−∞f(x,y)fY(y)dx${\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{f}_{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}\mathbb{d}x$为在Y=y$Y=y$的条件下X$X$的条件分布函数。记：
P{X≤x∣Y=y}$P\{X\le x\mid Y=y\}$或者FX∣Y(x∣y)$F_{X\mid Y}(x\mid y)$，即：

FX∣Y(x∣y)=P{X≤x∣Y=y}=∫x−∞f(x,y)fY(y)dx$$F_{X\mid Y}(x\mid y)=P\{X\le x\mid Y=y\}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}\mathbb{d}x$$

且满足条件：

fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)∫∞−∞fX∣Y(x∣y)dx=∫∞−∞f(x,y)fY(y)dx=1fY(y)∫∞−∞f(x,y)dx=1$$\begin{array}{rl}& f_{X\mid Y}(x\mid y)={\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}\\ & {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb{d}x={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}\mathbb{d}x={\displaystyle \frac{1}{f_Y(y)}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)\mathbb{d}x=1\end{array}$$

相互独立的随机变量

定义:
设F(x,y)$F(x,y)$以及FX(x),FY(y)$F_X(x),F_Y(y)$分别是二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$的分布函数以及边缘分布函数，若对于所有x,y$x,y$有：

P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}$$P\{X\le x,Y\le y\}=P\{X\le x\}P\{Y\le y\}$$

即：

F(x,y)=FX(x)FY(y)$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$

⇔$\iff$若(X,Y)$(X,Y)$是连续型随机变量，f(x,y),fX(x),fY(y)$f(x,y),f_X(x),f_Y(y)$分别为(X,Y)$(X,Y)$的概率密度和边缘概率密度，则X$X$和Y$Y$相互独立的条件为

f(x,y)=fX(x)fY(y)$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

在平面上几乎处处成立（除去面积为零的集合外处处成立。）
则称随机变量X$X$和Y$Y$是相互独立的.

两个随机变量的函数分布(连续)

Z=X+Y$Z=X+Y$

设(X,Y)$(X,Y)$是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)$f(x,y)$，则Z=X+Y$Z=X+Y$仍为连续型随机变量，其概率密度为：

fX+Y(Z)=∫+∞−∞f(z−y,y)dy$$f_{X+Y}(Z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(z-y,y)\mathbb{d}y$$

或

fX+Y(Z)=∫+∞−∞f(x,z−x)dx$$f_{X+Y}(Z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,z-x)\mathbb{d}x$$

若X$X$和Y$Y$相互独立，设(X,Y)$(X,Y)$的关于X$X$和Y$Y$的边缘概率密度分别为fX(x)$f_X(x)$和fY(y)$f_Y(y)$
则上式可以写为：

fX+Y(Z)=∫+∞−∞fX(z−y)fY(y)dy$$f_{X+Y}(Z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(z-y)f_Y(y)\mathbb{d}y$$

或

fX+Y(Z)=∫+∞−∞fX(x)fY(z−x)dx$$f_{X+Y}(Z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathbb{d}x$$

这两个公式被称为fX$f_X$和fY$f_Y$的卷积公式，记为fX∗fY$f_X\ast f_Y$即：

fX∗fY=∫+∞−∞fX(z−y)fY(y)dy=∫+∞−∞fX(x)fY(z−x)dx$$f_X\ast f_Y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(z-y)f_Y(y)\mathbb{d}y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathbb{d}x$$

Z=YX,Z=XY$Z={\displaystyle \frac{Y}{X}},Z=XY$

M=max{X,Y},M=min{X,Y}$M=max\{X,Y\},M=min\{X,Y\}$

随机变量的相互独立性

(1)$(1)$设二维随机变量(X,Y)$(X,Y)$的联合概率分布函数为F(x,y)$F(x,y)$，边缘概率分布函数分别为FX(x),FY(y)$F_X(x),F_Y(y)$，如果对于任意实数x,y$x,y$都有：

F(x,y)=FX(x)⋅FY(y)(x∈R),y∈R)$$F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)(x\in \mathbf{R}),y\in \mathbf{R})$$

即事件{X≤x}$\{X\le x\}$和{Y≤y}$\{Y\le y\}$相互独立
则称X$X$和Y$Y$相互独立，否则称X$X$和Y$Y$不相互独立
(2)$(2)$如果n$n$维随机变量(X1,X2,⋯,Xn)$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即

F(x1,x2,⋯,xn)=F1(x2)⋯Fn(xn)$$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=F_1(x_2)\cdots F_n(x_n)$$

其中Fi(x)$F_i(x)$为Xi$X_i$的边缘分布函数，xi$x_i$为任意实数，则称X1,X2,⋯,Xn$X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立