随机变量的数字特征（数学期望，方差，协方差与相关系数）

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数学期望

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离散型随机变量的数学期望

（这里要求级数绝对收敛，若不绝对收敛，则E(X)不存在）

如果有绝对收敛，则有

，其中

连续型随机变量的数学期望

（这里要求绝对收敛）

对于连续型随机变量的函数g(X)，有如下结论：

若积分收敛，则

二维随机变量的数学期望

（1）设(X,Y)是离散型随机变量，联合分布率为：

若绝对收敛，则Z=g(X,Y)的数学期望存在，且有

（2）设(X,Y)为连续型随机变量，联合概率密度函数为f(x,y)，若绝对收敛，则Z=g(X,Y)的数学期望存在，且有

特别，

数学期望的性质

（1）设C为常数，则E(C)=C

（2）设C为常数，则E(CX)=CE(X)

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)

推论

（4）设随机变量X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

 

方差

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设X为离散型随机变量，分布律为,则

设X为连续型随机变量，概率密度函数为f(x)，则

方差的性质

（1）

（2）设C为常数，则D(C)=0

（3）设C为常数，则

（4）设X，Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)

推论:设相互独立，则

 

协方差和相关系数

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协方差（刻画X与Y之间的相互关系）：

相关系数（标准协方差）

E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

Cov(X,X)=D(X)

若Cov(X,Y)=0，则称X与Y不相关。

当X与Y相互独立时，X与Y不相关。但是，当X与Y不相关时，未必有X与Y相互独立。

协方差与相关系数的性质：

（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

（3）

（4）