概率论与数理统计笔记 - 连续型随机变量

Ch 2.4 连续型随机变量

概念

如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有
$\large F\left( x\right) =\int ^{x}_{-\infty }f\left( t\right) dt$F(x)=∫−∞x​f(t)dt （是一种累积函数）
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度

性质

1. $\large f\left( x\right) \geq 0$f(x)≥0
2. $\large \int ^{\infty }_{-\infty }f\left( x\right) dx=1$∫−∞∞​f(x)dx=1
3. 对任意实数，$\large x_1,x_2(X_1\leq x_2)$x1​,x2​(X1​≤x2​),$\large P\{x_1<X \leq x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$P{x1​<X≤x2​}=F(x2​)−F(x1​)=∫x1​x2​​f(x)dx
4. (分布函数)$\large F'\left( x\right) =f\left( x\right)$F′(x)=f(x)(概率密度)

均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度为
$\large f(x) =\begin{cases} \frac{1}{b-a}, &a<x<b \\0,&{其他} \end{cases}$f(x)=⎩⎨⎧​b−a1​,0,​a<x<b其他​
则称X在区间（a，b）上服从均匀分布。记为X~U(a，b)
f(x)概率密度函数图像

指数分布

若连续型随机变量X的概率密度为
$\large f\left( x\right) =\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x >0\\ 0,&其他\end{cases}$f(x)=⎩⎨⎧​λe−λx,0,​x>0其他​
其中$\large \lambda>0$λ>0，则称X服从参数为$\large \lambda$λ的指数分布
性质：无记忆性，对于任意s,t>0,P{X>s+t|X>s}=P{X>t}

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正态分布

若连续型随机变量X的概率密度为
$\large f(x\;|\;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$f(x∣μ,σ2)=2πσ2​1​e−2σ2(x−μ)2​，则服从正态分布，简记为$\large X \sim N(\mu,\sigma^2)$X∼N(μ,σ2)

当$\large \mu=0,\sigma=1$μ=0,σ=1时称X服从标准正态分布
$\Large \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}$φ(x)=2π​1​e−21​x2
引理（标准化）** 若**$\large X \sim N(\mu,\sigma^2)$X∼N(μ,σ2)，则$\large Z=\dfrac {x-\mu }{\sigma }\sim N\left( 0,1\right)$Z=σx−μ​∼N(0,1)