概率 + 统计 样本及抽样分布（六）

总体和样本

在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.

总体

对随机试验的某一数量指标进行试验或观察：

1. 试验的全部可能的观察值称为总体
2. 每一个可能观察值称为个体
3. 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量

• 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X 的值
• 一个总体对应一个随机变量X
• 不再区分总体和相应的随机变量，统称为总体X
• X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征

样本

• 总体分布一般是未知，或只知道是包含未知参数的分布。
• 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”。
• 所抽取的部分个体称为样本。
• 样本中所包含的个体数目称为样本容量。

对总体X在相同的条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记为。这样得到的随机样本是来自总体X的一个简单随机样本，与总体随机变量具有相同的分布。n称为这个样本的容量。

一旦取定一组样本，得到n个具体的数值，称为样本的一次观察值，简称样本值 。

最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：

1.  代表性： 中每一个与所考察的总体有相同的分布.
2.  独立性：是相互独立的随机变量.

总体、样本、样本值的关系

统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.

样本是联系二者的桥梁

总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.    

若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为

其简单随机样本的联合概率密度函数为

抽样分布

统计量与经验分布函数

统计量

由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.

 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.   它是完全由样本决定的量.

设是来自总体X的一个样本，是的函数，若g中不含未知参数，则是样本的一个统计量。

• 是样本，也是随机变量
• 统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
• 是统计量的观察值。

几个常见统计量

样本平均值：（它反映了 总体均值 的信息）

样本方差：（它反映了总体 方差的信息）

样本标准差 ：

样本k阶原点矩：（它反映了总体k 阶矩的信息）

样本k阶中心矩：（它反映了总体k 阶 中心矩的信息）

注意：

统计量的观察值

仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶（原点）矩以及样本 k 阶中心矩。

统计量的一些性质

设总体X的均值为，方差为，是来自总体X的一个样本，则

1. 
2. 
3. 
4. 若总体X的k阶矩存在，则（矩估计法的理论根据）

 经验分布函数

设是来自总体F的一个样本，用，表示中不大于x的随机变量的个数

定义：经验分布函数为

正态总体的三个常用抽样分布

• 统计量的分布称为抽样分布
• 总体分布已知时，抽样分布虽然是确定的，但一般来说难以求得
• 正态总体的三个常用抽样分布：
  • 分布
  • 分布
  • 分布

分布

分布是由正态分布派生出来的一种分布.

定义：设相互独立,  都服从正态分布，则称随机变量：所服从的分布为自由度为 n 的分布。记为

分布的性质

1. ​​​​​​​设相互独立,  都服从正态分布，则
2. 设，且相互独立，则，这个性质叫分布的可加性.
3. 若，分布的数学期望和方差 

T分布

定义：设,, 且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为 n的 T分布，记为。T分布又称为学生氏分布，它的概率密度函数为：

T分布的性质

1. T分布的密度函数关于对称，当n充分大时，妻徒刑近似于标准正态分布概率密度函数的图形，再由函数的性质有，即当n足够大时，
2. 
3. 时，

F分布

设，U与V相互独立，则称随机变量服从自由度为n1及 n2  的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作。

 

F分布的性质

1. 若，则
2. 

正态总体的样本均值与样本方差的分布

定理 1  (样本均值的分布)

设是来自正太总体的样本，是样本均值，则有，即

n取不同值时样本均值的分布

定理 2  (样本方差的分布)

设是来自正太总体的样本，和分别是样本均值和样本方差,则有

1. 
2. 与独立

n取不同值时的分布见右图

定理 3 (样本均值方差比的分布)

设是来自正太总体的样本，和分别是样本均值和样本方差,则有

定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布)  

设，且X与Y独立,是来自X的样本，是来自Y的样本，和分别是这两个样本的样本均值，和分别是这两个样本的样本方差,则有

1. 
2. 若