冯·米塞斯迭代法（Von Mises iteration）

冯·米塞斯迭代法

冯·米塞斯迭代（Von Mises iteration）用于求解矩阵$A$A最大特征值对应的特征向量（$Av=\lambda v$Av=λv）。冯·米塞斯迭代也被称作，阶乘迭代法（Power iteration）。

计算过程

假设矩阵$A$A具有特征值$\lambda$λ，严格大于其他特征值，且向量$b_0$b0​与在最大特征值对应的特征向量方向上具有非零分量（即与该特征向量不正交）。根据迭代公式，计算$b_k$bk​：

最终，$b_k$bk​将收敛到最大特征值对应的特征向量。

证明过程

可以对矩阵$A$A进行Jordan对角化，$A=VJV^{ - 1}$A=VJV−1。第一个Jordan块对应于$A$A的最大特征值。
由于$v_1$v1​…$v_n$vn​线性无关，$b_0$b0​可以写为$v_1$v1​…$v_n$vn​的线性组合：

将递推公式展开，有：

将$b_k$bk​展开：


可知$b_k$bk​与$v_1$v1​同方向，且$b_k$bk​的范数为1，因此$b_k$bk​即为矩阵$A$A最大特征值对应的特征向量。

（资料来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Power_iteration）