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1.写在前面
上一节，我们介绍了slater条件，假如说我们遇到一个凸优化问题+slater条件，那么一定满足强对偶关系。强对偶关系是说p*是原问题的解，d*是对偶函数的解，满足p*=d*。p*对应最优解是x*，d*对应最优解是λ*和η*。怎么求出来这三个最优解呢？KKT就给定了这三者之间的一个关系，可以求出这三个最优解。并且KKT条件和强对偶关系属于充要条件，可以互相推导。我们这一节就介绍什么是KKT条件。
2.什么是KKT条件（3组，5个条件）
KKT条件可以分为3组，第一组是满足可行域或者可行条件；第二组是满足互补松弛条件；第三组是梯度为0。
互补松弛条件是什么呢？我们思考d*是什么，是对偶问题的最优值，可以直接代入λ*和η*：
上面那个式子我们可以得到互补松弛条件，如果d*=p*，只能取等号。下面蓝框中就是我们推出的互补松弛条件。
我们看第三组梯度等于0，因为上面绿色公式推导中要取等号，我们可以单独拿出来讨论：当x=x*时候，取得最小值。
所以如果L对x求偏导，在x=x*时候，一定会等于0，因为必须要有最小值。其实第二组互补松弛条件和第三组梯度为0条件都是从不等式取等号推导出来的。最后的KTT三组条件为（三组+五个条件）：