高斯定理与电场的散度

在这之前，我们先了解一下通量的概念。考虑一根自来水管，水管内的水向右流动，如下图所示。

在水管中取一个截面$dS$dS，那么在单位时间内，通过这个截面的水是一定的，即通过这个截面的水的量。那么这个量又是什么呢？

通量通常是针对矢量而言的。在这里，取水流速度的大小$v$v与截面的面积$dS$dS的乘积$vdS$vdS，得到速度通量，再乘上通过该截面的水的质量$m$m，得到动量通量$mvdS$mvdS。

上面这种情况是水流与截面垂直的情况，当水流与截面不垂直的时候，如下图所示，还能这样计算通量吗？

我们先给这个截面增加一个方向，这个方向为截面的法向（即与截面垂直），并且只能与水流的方向平行或者成一个锐角。随后将黄色箭头所代表的矢量，例如动量$\vec{p}$p​，分解，一部分平行于$d\vec{S}$dS，另一部分垂直于$d\vec{S}$dS。像这样只有平行于$d\vec{S}$dS的矢量才能通过这个面，设这个矢量与$d\vec{S}$dS的夹角为$\theta$θ，则通量为
$p\cos\theta dS = \vec{p}\cdot d\vec{S} \tag{1}$pcosθdS=p​⋅dS(1)
即一个矢量在某个面元上的通量，只需将这个矢量与面元所构成的矢量做内积即可。

现在考虑电场$\vec{E}$E的通量。假设有一个静电荷$Q$Q，它被一个闭合曲面$S$S包围，如下图所示。

在曲面上取一个有向面元$d\vec{S}$dS，以法线向外为正方向。则电荷$Q$Q在面元$d\vec{S}$dS处产生的电场的通量为
$\vec{E}\cdot d\vec{S}=E \cos\theta dS=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cos\theta dS \tag{2}$E⋅dS=EcosθdS=4πε0​r2Q​cosθdS(2)

其中$\theta$θ为$\vec{r}$r与$d\vec{S}$dS的夹角（即$d\vec{S}$dS与电荷$Q$Q在该面元处的夹角）。

现在我们来看$\cos\theta dS$cosθdS的含义。以$Q$Q为球心，$r$r为半径，作一个球面。那么$\theta$θ就是面元$d\vec{S}$dS与该处球面法向的夹角，所以$\cos\theta dS$cosθdS就是面元$dS$dS投影到球面上的面积。那么$\cos\theta dS/r^2$cosθdS/r2就是面元$d\vec{S}$dS对电荷$Q$Q所张开的立体角元$d\Omega$dΩ。

那么什么是立体角呢？先回忆一下弧度的定义。在一个扇形中，这个扇形的弧长除以扇形的半径，就是这个扇形的圆心角所对应的弧度。立体角与弧度类似，只不过弧度是由圆来定义，而立体角是由球来定义。取一个球面，用这个球面的面积除以这个球的半径的平方，得到的就是这个球面对应的立体角。立体角与弧度一样，它与球的具体半径无关，只表示三维空间中角度的大小。在平面几何中，根据弧度的定义，一个圆周的弧度，可以用圆的周长比上圆的半径，其结果为$2\pi$。同理，一个球所对应的立体角，可以用球的面积除以球的半径的平方，其结果为$4\pi$。即封闭曲面对封闭曲面内任意一点，所张的立体角都是$4\pi$

$\oint d\Omega = 4\pi$∮dΩ=4π

由于式(2)计算的是面元处的电场通量，要计算整个闭合曲面的通量，还需要对整个闭合曲面$S$S进行积分：
$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \oint d\Omega = \frac{Q}{\varepsilon_0} \tag{3}$∮S​E⋅dS=4πε0​Q​∮dΩ=ε0​Q​(3)

式(3)即为电场通量的高斯定理
$\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0} \tag{4}$∮S​E⋅dS=ε0​Q​(4)

即闭合曲面的电场通量只与闭合曲面内的电荷有关，与闭合曲面外的电荷无关。这是因为闭合曲面外的电荷产生的电场，从闭合曲面的一个位置进入，必定会从闭合曲面的另外一个位置出来，对闭合曲面的电场通量没有贡献。

在方程(4)左右两边同时除以该闭合曲面所围的体积$\Delta V$ΔV，随后让这个体积无限缩小，即$\Delta V \rightarrow 0$ΔV→0，最后可以得到电通量强度与电荷密度之间的关系
$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{5}$∇⋅E=ε0​ρ​(5)

高斯定理揭示了电荷密度分布与产生的电场之间的关系。由于数学上的相似性，高斯定理也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。

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