国科大高级人工智能9-模糊数学和遗传算法

文章目录

• 1.模糊计算
• 笛卡尔积、关系
• 模糊集
• 连续的隶属度函数
• 运算
• 2.evolution 遗传算法

1.模糊计算

• why模糊
  • 取得精确数据不可能或很困难
  • 没有必要获取精确数据
• 模糊性概念：对象从属的界限是模糊的，随判断人的思维而定
  • 不同人的界定标准不一样
• 隶属函数：使模糊概念数学化
  • 形式化定义：
    • 设U是给定论域，
    • $\mu_F$μF​u∈U映射为[0, 1]上某个实值的函数，即
      • $\mu_F:U->[0,1]$μF​:U−>[0,1]
    • 则称$\mu_F$μF​为定义在U上的一个隶属函数，
    • 模糊集：由\mu_F(u)（对所有u∈U）所构成的集合F称为U上的一个模糊集，
      • 离散的
        • $\mu_F(ui)=0的可以忽略$μF​(ui)=0的可以忽略
        • 表示1：$F={\mu_F(u1),\mu_F(u2),...,\mu_F(un)}$F=μF​(u1),μF​(u2),...,μF​(un)
        • 表示2：$F=\mu_F(u1)/u1+\mu_F(u2)/u2+...+\mu_F(un)/un$F=μF​(u1)/u1+μF​(u2)/u2+...+μF​(un)/un
          • +只是连接，/也不是除号
        • 表示3：$F={\mu_F(u1)/u1，\mu_F(u2)/u2，...，\mu_F(un)/un }$F=μF​(u1)/u1，μF​(u2)/u2，...，μF​(un)/un
        • 表示4：$F={（\mu_F(u1)，u1），（\mu_F(u2)，u2），...，（\mu_F(un)，un） }$F=（μF​(u1)，u1），（μF​(u2)，u2），...，（μF​(un)，un）
      • 连续的$F=\int_{u \in U} \mu_F(u)/u$F=∫u∈U​μF​(u)/u
    • $\mu_F(u)$μF​(u):称为u对F的隶属度。
      • 越大隶属度越高。
      • 当$\mu_F(u)仅为0/1时$μF​(u)仅为0/1时,F退化为普通集合

• 区分

  • 模糊性:
    • 事件发生的程度，而不是一个事件是否发生.
  • 随机性:
    • 描述事件发生的不确定性,即,一个事件发生与否.

• 模糊集合之间的关系

  • 相等：$任意u\in U \mu_F(u)=\mu_G(u) <==> F=G$任意u∈UμF​(u)=μG​(u)<==>F=G
  • 包含：$任意u\in U \mu_F(u) \leq \mu_G(u) <==> F \subseteq G$任意u∈UμF​(u)≤μG​(u)<==>F⊆G
  • 非：¬F=G<==>$任意u\in U \mu_F(u) =1- \mu_G(u)$任意u∈UμF​(u)=1−μG​(u)
  • 交：$F \cap G<==> \mu_{ F \cap G}(u)=min_{u\in U}(\mu_F(u) , \mu_G(u))$F∩G<==>μF∩G​(u)=minu∈U​(μF​(u),μG​(u))
  • 交：$F \cup G<==> \mu_{ F \cup G}(u)=max_{u\in U}(\mu_F(u) , \mu_G(u))$F∪G<==>μF∪G​(u)=maxu∈U​(μF​(u),μG​(u))

• 描述数据

  • eg：十个分数：72,68,71,70,86,69,70,82,72,75
    1. 平均分73.5（精确，但不知道分布，不直观
    2. 这次考试成绩在70分左右，个别在80分以上
       • 一些定义：
         • “大多数”
           • 0.5/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10
         • “70分左右”
           • 0.5/68+1/69+1/70+1/71+1/72+0.8/73+0.5/74+0.5/75
         • “个别”
           • 1/1+1/2+0.5/3
         • “80分以上”
           • 1/80+1/81+1/82+…+1/100
       • 这句话依据这个定义来看的话
         • 70分左右
           • 1+0.5+1+1+0+1+1+0+1+0.5=7
         • 大多数：7对大多数的隶属度0.8
         • 80分以上：2个人
         • 个别：2 对个别是1

• 笛卡尔积：设V与W是两个普通集合，V与W的笛卡尔乘积为V×W ={(v,w)∣任意$v \in V$v∈V，任意$w \in W$w∈W}

• 从V到W的关系R：V×W上的一个子集，即 $R\subseteq V×W$R⊆V×W

  • 记为$V\stackrel{R}{\rightarrow} W$V→RW
  • 对于V×W中的元素(v,w)，若(v,w)∈R，则称v与w有关系R；
  • 若(v,w)$\notin$∈/​R，则称v与w没有关系。

• 模糊关系
  

• 关系的合成

  • $\mu_{R_1 o R_2}(u,w)= ∨{ \mu_{R_1}(u,v)∧\mu_{R_2}(v,w)}$μR1​oR2​​(u,w)=∨μR1​​(u,v)∧μR2​​(v,w)–max min—先取min再取 max
  • 像矩阵的运算
  • eg：
    • $R1=\left[ \begin{matrix} 0.4 & 0.5 & 0.7 \\0.8& 0.3& 0.7 \end{matrix} \right]$R1=[0.40.8​0.50.3​0.70.7​]
    • $R2=\left[ \begin{matrix} 0.7 & 0.9\\0.2& 0.8\\0.5& 0.3 \end{matrix} \right]$R2=⎣⎡​0.70.20.5​0.90.80.3​⎦⎤​
    • $R1oR2(1,1)=∨\{0.4∧0.7,0.2∧0.5,0.6∧0.5\}=∨\{0.4,0.2,0.5\}=0.5$R1oR2(1,1)=∨{0.4∧0.7,0.2∧0.5,0.6∧0.5}=∨{0.4,0.2,0.5}=0.5
    • $R1oR2=\left[ \begin{matrix} 0.5 & 0.5 \\0.7& 0.8 \end{matrix} \right]$R1oR2=[0.50.7​0.50.8​]

• 模糊逻辑

  • 模糊逻辑：定义模糊谓词、模糊量词、模糊修饰语等
  • 模糊谓词
    • 设x∈U，F为模糊谓词，即U中的一个模糊关系，则模糊命题可表示为
      • x is F
    • 其中的模糊谓词F可以是大、小、年轻、年老、冷、暖、长、短等。
  • 模糊量词
    • 模糊逻辑中使用的模糊量词，如极少、很少、几个、少数、多数、大多数、几乎所有等
      

笛卡尔积、关系

模糊集

连续的隶属度函数

运算

• 很少有成绩好的学生特别贪玩
  
• 纠正平方后，起止点不变。

2.evolution 遗传算法

• 特点
• 自组织、自适应和自学习性—概率转移准则，非确定性规则
• 本质并行性—群体搜索
  • 独立进化
  • 群体搜索
• 不需要其他知识，只需要影响搜索方向的目标函数和相应的适应度函数