问题描述
（1）正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数（n划分最大加数不超过m）
（2）正整数n划分为不超过m个正整数之和的划分数（n划分为m份）
（3）正整数n划分为若干正奇整数之和的划分数
（4）正整数n划分为互不相同正整数之和的划分数
其中，整数划分无顺序，比如对7划分，认为2 2 3和3 2 2和2 3 2为同一种划分。
算法思路
（1）问题1和问题2等价。
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
-
当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
-
当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1};
-
当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
a.划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
b.划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 f(n,m) =1 + f(n,n-1);
-
当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n, m) =f(n,n);
-
但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
a. 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是(n-m)的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);
b.划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1)。因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
递推表达式如下：
（2）问题3。
对情况4和情况5进行修改：增加对奇偶数不同情况的分析
递推表达式如下：
（3）问题4
对情况2进行修改：当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1}，但出现了重复，故划分失败。
对情况5的a进行修改：划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，不可能再次出现m，因此是(n-m)的m-1划分，因此这种划分个数为f(n-m, m-1);
递推表达式如下：
其中，（1）和（2）是回归条件（即边界），（3）和（4）是特殊情况，将会转换为情况（5），（5）通过减小m以达到回归条件。
代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
//正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数
int intergerDiv(int n,int m)
{
if(n==1||m==1)
return 1;
else if(n<m)
return intergerDiv(n,n);
else if(n==m)
return 1+intergerDiv(n,m-1);
else //if(n>m)
return intergerDiv(n-m,m)+intergerDiv(n,m-1);
}
//正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数，且m不重复
int notRepeteInterDiv(int n,int m)
{
if(n==1)
return 1;
else if(m==1&&n>1)
return 0;
else if(n<m)
return notRepeteInterDiv(n,n);
else if(n==m)
return 1+notRepeteInterDiv(n,m-1);
else //if(n>m)
return notRepeteInterDiv(n-m,m-1)+notRepeteInterDiv(n,m-1);
}
//正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数，m只能取奇数
int onlySingleInterDiv(int n,int m)
{
if(n==1||m==1)
return 1;
else if(n<m)
return onlySingleInterDiv(n,n);
else if(n==m){
if(m%2==1){//如果是奇数
return 1+onlySingleInterDiv(n,m-1);
}
else{
return onlySingleInterDiv(n,m-1);
}
}
else{//if(n>m)
if(m%2==1){//如果是奇数
return onlySingleInterDiv(n-m,m)+onlySingleInterDiv(n,m-2);
}
else{
return onlySingleInterDiv(n,m-1);
}
}
}
int main()
{
int n,m;
int num;
cin>>n>>m;
num=intergerDiv(n,m);
cout<<num<<" ";//（1）正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数
cout<<num<<" ";//（2）正整数n划分为不超过m个正整数之和的划分数
num=onlySingleInterDiv(n,n);
cout<<num<<" ";//（3）正整数n划分为若干正奇整数之和的划分数
num=notRepeteInterDiv(n,n);
cout<<num<<" ";//（4）正整数n划分为互不相同正整数之和的划分数
return 0;
}