数学建模 --- 插值法

插值法

• 插值法定义
• 插值方法
• 拉格朗日插值法（插值多项式）
• 拉格朗日插值不足 --- 龙格现象
• 分段插值
• n维数据插值

插值法定义

构造一个函数，需要这个函数完全过给定点
对于构造函数：

插值方法

拉格朗日插值法（插值多项式）

1. 三个点时
2. n个点时

拉格朗日插值不足 — 龙格现象

当插值函数的阶数$n$n越大时，在两端的波动极大，会产生明显的震荡

分段插值

1. 分段线性插值
   每两个点之间分别构成一个线段，只用到了最近的两个点
2. 分段二次插值
   选最近的n个已知点，构造n-1次函数
   例如：选最近的3个点，构造一个二次函数
3. 牛顿插值法
   
   例如：

• 有$x_0 ... x_{n-1}$x0​...xn−1​点
  
• 有$x_0 ... x_{n}$x0​...xn​点
  
  上两个牛顿插值只有一项不想同，所以牛顿插值法具有继承性
  以上三种方法都没有反应被插值函数的导数

4. 埃尔米特(Hermite)插值法
   不但要求在节点的函数值相等，也要求对应的导数值也相等，甚至更高阶导数也相等

• 分段三次埃尔米特插值
  运用了一阶导数相等

• 内置函数：
  

5. 三次样条插值
   运用了二阶连续可微 且 每个区间$[x_i,x_{i+1}]$[xi​,xi+1​]是三次多项式

• 内置函数：
  

n维数据插值