【机器学习】一文理清信息熵，相对熵，交叉熵

初学者在搞清楚这个三个信息论的大怪兽时，往往会晕头转向。本文将简要的对这三个概念进行理清，文章尽量通俗，有不对的地方恳请斧正。

信息熵：

香农提出信息熵主要是用来解决对信息的量化度量问题，比如说存在选项【A,B,C,D】，若每个字母都用8位Ascii码存储，则表示这个四个选项需要32位bit。 如果此时采用二进制的话，4个选项用2位bit便可表示【00,01,10,11】。于是对4个选项信息进行量化为${log}_2(4) =2$log2​(4)=2。

值得注意的是，我们在量化这个四个选项信息是隐含了一个附加条件（A,B,C,D）出现的概率相同，各为1/4。如果出现的概率各不相同，我们不一定是将其表述为2进制【00,01,10,11】(各个事件的出现概率相同)，这样在信息压缩上并不是最优。在考虑信息编码的时候，如果出现概率值不同，我们会将出现概率大的进行短编码，概率小的进行长编码，这也是哈夫曼编码的思想。

那么当事件的出现概率各不相同时，我们如何衡量信息的编码量呢？此时，需要引入数学上的期望。每个事件出现的概率为$p_i$pi​，那么这个信息量可以表示为期望$\sum_i p_i log(1/p_i) = -\sum_i p_i log(p_i)$∑i​pi​log(1/pi​)=−∑i​pi​log(pi​)

那么可以将信息熵定义为：
$Entropy = -\sum_i p_i log(p_i)$Entropy=−i∑​pi​log(pi​)

所谓信息熵：是对每个可能性编码所需要的期望值，延伸一下，也是对信息的量化指标。香农则将信息熵用来描述信息源的不确定度， 信息熵越大，混乱度越大。

这里再衍生一下，如果有一个硬币，往上抛，落到地上猜正反。那么假如这个硬币是正常硬币的话，则正反的概率均为1/2，此时二元信源的熵达到最大，也就是说我们不知道硬币到底是正，还是反，只能靠猜，信息的混乱度很大，信息源极不确定。

考虑一下，如果这个硬币被动了手脚的，两面都是正，则反的概率为0，代入信息熵的公式可得此时的信息熵为0，也就意味着这个信息是确定的，闭着眼也能知道这个硬币最终是正的。同时，也可以描述信息源是完全确定的。

相对熵：

相对熵也称之为Kullback-Leibler散度（KL散度），是用来衡量两个信息分布的差异性。相对熵是如何去衡量数据分布的差异性呢？$KL(P||Q)$KL(P∣∣Q)指的是如果用事件P代替事件Q进行描述，那么其所获得的信息增量。

数学描述为：
$KL(P||Q)=\sum P(x) log(\frac{P(x)}{Q(x)}) = -\sum P(x) log(\frac{Q(x)}{P(x)})$KL(P∣∣Q)=∑P(x)log(Q(x)P(x)​)=−∑P(x)log(P(x)Q(x)​)

Note: 当P(x) = Q(x)时，KL散度为0，当两者分布差异越大时，KL散度也越大。

此处引用维基百科上的一个例子，
存在下面两个分布P,Q。P为二项分布，Q为均匀分布。


值得注意的是相对熵并不对称，KL(P||Q)不等于KL(Q||P)。
后续为了引入对称的度量，引入了JS分布，此处不细述。

交叉熵：

交叉熵往往在机器学习的分类问题中的很多
我们将相对熵的数学公式进行拆分为：

$KL(P||Q) =\sum P(x) log(\frac{P(x)}{Q(x)}) = \sum P(x) log(P(x)) - \sum P(x) log(Q(x)) = -H(P(x)) + Cross Entrop(P,Q)$KL(P∣∣Q)=∑P(x)log(Q(x)P(x)​)=∑P(x)log(P(x))−∑P(x)log(Q(x))=−H(P(x))+CrossEntrop(P,Q)

交叉熵的定义：
$Cross Entrop(P,Q) = -\sum P(x) log(Q(x))$CrossEntrop(P,Q)=−∑P(x)log(Q(x))

在分类问题中，P(x)为label的one-hot，Q(x)为softmax的结果。由于label的熵不会改变，是一个常数。因此对相对熵进行最小化，也是对交叉熵进行最小化。