随机过程的基本概念
随机变量回顾
在进入随机过程之前，先复习一下随机变量，这也是初学概率论时经常搞不明白的地方。
个人认为，数学最本质的特征是抽象，也就是说一切事物都可以通过某种法则映射到数上，然后再来通过讨论数的关系，来描述事物的关系。再具体到概率论中，我们讨论一些事物的发生可能性，并把所有的可能性构成的集合称为样本空间，比如掷骰子的可能结果是，那么这就是样本空间，而且都是具体数字。
但是，大部分样本空间都不是数据的形式，比如说掷硬币会有正反两面，但这不是数字。为了方便描述，我们把正面的结果视为1，反面结果视为0，那么这就完成了一个由正反面到具体数字的映射。随机变量的作用就是为了完成类似的映射关系！！！
对于任意的一般事物，其中代表了所有可能出现的情况，而表示随即实验的每个结果映射到实数集上，那么这个映射函数就是随机变量！！也就是说，我们所说的随机变量，本质上是一个函数，这个函数完成了随机试验的结果到实数的一个映射！！！！！学数学一定要搞清最基本的概念！！！
但是，随机变量这个函数和普通函数有着本质的差别。普通函数给定输入，它的输出是确定的；随机变量的取值是概率性质的，即在实验之前，我们不知道随机变量会取得什么值，每个取值都有一定的概率。然而，我们可以知道随机变量所有取值的概率分布。
比如说我们认为随机变量符合标准正太分布，即。这说明，随机试验的结果，经过随机变量映射后，所有情况对应的可能出现的情况的概率，满足这个分布函数！！！在这里强调，随机变量这个函数的映射结果，即函数的值域出现的可能情况，满足这个正太分布！！！而对于，是指随机变量的值是的时候，可能的概率是。
理解随机变量的本质，是理解随机过程的前提。
随机过程的基本概念
前面所说的随机变量，本质上是一个静态的概念，可以这么认为，我们每次做的随机试验，都是在某个固定的时间点上进行的，而且在实验之前就能知道每个结果的概率，注意这里所说的是知道概率，真正结果是不知道的。比如掷硬币正反两面的结果概率都是0.5，但是我们不知道结果到底是哪个；即使是不均匀的硬币，假设根据计算结果，正面朝上的概率是0.9，那我们也只能认为我们知道的是概率，不能知道结果。
随机过程可以这么理解，在一个时间轴上，不断地进行随机试验（可以是离散或者连续的），而且我们不知道每次随机试验时结果可能服从的分布情况，每个时间点对应的结果的分布是未知的，即未知，有很多种情况。但是，如果我们从开始实验到某个固定的结束时间点，都可以得到一组随机变量，即每个时间点对应一个随机变量。那么，这一系列的对应的一族（无限多个）随机变量成为随机过程，记为
可以理解为，随机过程是一个时间轴上随机变量的有序集合。一般都认为是时间，即使不是时间，那它也代表着步骤编号。称为时刻的状态。对于，所有可能的取值称为状态空间。
对随机过程进行一次完整的观测，会得到一个关于的函数，每次观测都会得到一个不同的函数。那么任意一个函数就是随机过程的一个样本函数。可以这么理解，一个随机过程由多种（甚至无数个）可能情况，而一个样本函数只是这个过程的某种体现。这就像整体和样本之间的关系。
随机过程的描述方式
分布函数
首先回顾随机变量的分布函数：
随机变量的分布函数的意义是，给定一个值，那么随机变量小于这个值的概率是。
同样的，随机过程只不过是添加了一个时间轴，那么对于一个一维随机过程分布函数，在时刻的分布函数是：
它表示的意义是，在给定的时刻的随机变量的值小于给定的概率。
均值和方差
均值可以这么理解，每个时间点都有一个自己的分布，那么每个时间点的分布都求出平均值，然后这些平均值的时间序列组合就构成了随机过程平局值，因此均值公式为：
同理，每个时间点的方差组合成随机过程的方差：
下图给出了他们的一个基本关系
记二阶原点矩为：
设任意，且二阶混合矩是：
简记为
记二阶混合中心距为：
同时称之为协方差函数，表示变量之间的相关性，简记为
由因为
展开(3)式，得到
当时，有