递归
递归不是一种算法分类，分治递推是算法分类，递归是一种编程的技术。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
程序直接或间接调用自身的编程技巧称为递归算法。
一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。，但递归的效率不算高，它有压栈推栈。
递归有直接递归A->A,A->A,间接递归A->B,B->A,\
递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。
当边界条件不满足时，递归前进；
当边界条件满足时，递归返回。
注意：在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口，否则将无限进行下去（死锁）。
递归的缺点：
递归算法解题的运行效率较低。
在递归调用过程中，系统为每一层的返回点、局部变量等开辟了堆栈来存储。递归次数过多容易造成堆栈溢出等。
Fibonacci数列
Fibonacci数列递归递推比较
1.Fibonacci数列的递归算法
int fib(int n)
{
if (n<=1) return 1;
return fib(n-1)+fib(n-2);
}
该算法的效率非常低，因为重复递归的次数太多。
2.Fibonacci数列的递推算法
int fib[50]; //采用数组保存中间结果
void fibonacci(int n)
{
fib[0] = 1;
fib[1] = 1;
for (int i=2; i<=n; i++)
fib[i] = fib[i-1]+fib[i-2];
}
递归例题
集合的全排列问题
//产生从元素k～m的全排列，作为前k—1个元素的后缀
void Perm(int list[], int k, int m)
{
if(k==m) //构成了一次全排列，输出结果
{
for(int i=0;i<=m;i++)
cout<<list[i]<<" ";
cout<<endl;
}
else
//在数组list中，产生从元素k～m的全排列
for(int j=k;j<=m;j++)
{
swap(list[k],list[j]);
Perm(list,k+1,m);
swap(list[k],list[j]);
}
}
整数划分问题：
整数划分问题是算法中的一个经典命题之一。把一个正整数n表示成一系列正整数之和：
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数，记作 。
正整数6有如下11种不同的划分，所以 。
6
5+1
4+2, 4+1+1
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1
正整数n的划分数p(n)=f(n,n)
1,2，3,4条都比较好理解，第五条规律
在F(n,m）=f(n,m-1)+X的时候，X中最大的是m剩下数进行排列。
算法3.4 正整数n的划分算法
int split(int n,int m)
{
if(n1||m1) return 1;
else if (n<m) return split(n,n);
else if(n==m) return split(n,n-1)+1;
else return split(n,m-1)+split(n-m,m);
}
分治
分治策略是对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同。
递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
算法3.5 分治策略的算法设计模式
Divide_and_Conquer（P）
{
if (|P|＜＝n0 ) return adhoc§；
divide P into smaller substances P1，P2，…，Pk；
for (i＝1; i＜＝k; k＋＋)
yi＝Divide-and-Conquer（Pi） //递归解决Pi
Return merge（y1，y2，…，yk） //合并子问题
}
分治法的适用条件
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
二分搜索技术
给定n个元素a[0：n－1]，需要在这n个元素中找出一个特定元素x。
首先对n个元素进行排序，可以使用C++标准模板库函数sort()。
比较容易想到的是用顺序搜索方法，逐个比较a[0：n－1]中的元素，直至找到元素x或搜索遍整个数组后确定x不在其中。
因此在最坏的情况下，顺序搜索方法需要 O(n)次比较。
二分搜索技术充分利用了n个元素已排好序的条件，采用分治策略的思想，在最坏情况下用O(log n) 时间完成搜索任务。
二分搜索算法的基本思想是将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与x作比较。
如果x＝a[n/2]，则找到x，算法终止。
如果x＜a[n/2]，则我们只要在数组a的左半部分继续搜索x。
如果x＞a[n/2]，则我们只要在数组a的右半部分继续搜索x。
二分搜索算法
//数组a[]中有n个元素，已经按升序排序，待查找的元素x
template
int BinarySearch(Type a[],const Type& x,int n)
{
int left=0; //左边界
int right=n-1; //右边界
while(left<=right)
{
int middle=(left+right)/2; //中点
if (x==a[middle]) return middle;
if (x>a[middle]) left=middle+1;
else right=middle-1;
} return -1; //未找到x
}
循环赛日程表
问题描述：设有n＝2k个运动员要进行网球循环赛。
现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：
每个选手必须与其他n－1个选手各赛一次；
每个选手一天只能参赛一次；
循环赛在n－1天内结束。
请按此要求将比赛日程表设计成有n行和n－1列的一个表。
在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手，其中1≤i≤n，1≤j≤n－1。
每个选手必须与其他n－1个选手各赛一次；
每个选手一天只能参赛一次；
循环赛在n－1天内结束。
void Table(int k)
{
int i, r;
int n = 1 << k;
//构造正方形表格的第一行数据
for (i=0; i<n; i++)
a[0][i] = i + 1;
//采用分治算法，构造整个循环赛日程表
for (r=1; r<n; r<<=1)
for (i=0; i<n; i+=2*r)
{
Copy(r, r + i, 0, i, r); //①
Copy(r, i, 0, r + i, r); //②
}
}
源方阵的左上角顶点坐标（fromx, fromy），行列数为r
目标方阵的左上角顶点坐标（tox, toy），行列数为r
void Copy(int tox, int toy, int fromx, int fromy, int r)
{
for (int i=0; i<r; i++)
for (int j=0; j<r; j++)
a[tox+i][toy+j] = a[fromx+i][fromy+j];
}
输油管道问题
某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经（或南或北）与主管道相连。
如果给定n口油井的位置，即它们的x坐标（东西向）和y坐标（南北向），应如何确定主管道的最优位置，即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置？
给定n口油井的位置，编程计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。
输入
第1行是一个整数n，表示油井的数量（1≤n≤10 000）。
接下来n行是油井的位置，每行两个整数x和y
（﹣10 000≤x，y≤10 000）。
输出
各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。
对数组a排序（一般是升序），取中间的元素
int n; //油井的数量
int x; //x坐标，读取后丢弃
int a[1000]; //y坐标
cin>>n;
for(int k=0;k<n;k++)
cin>>x>>a[k];
sort(a,a+n); //按升序排序
//计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和
int min=0;
for(int i=0;i<n;i++)
min += (int)fabs(a[i]-a[n/2]);
cout<<min<<endl;
采用分治策略求中位数
int n; //油井的数量
int x; //x坐标，读取后丢弃
int a[1000]; //y坐标
cin>>n;
for (int i=0; i<n; i++)
cin>>x>>a[i];
int y = select(0, n-1, n/2); //采用分治算法计算中位数
//计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和
int min=0;
for(int i=0;i<n;i++)
min += (int)fabs(a[i]-y);
cout<<min<<endl;