视觉SLAM十四讲 第4讲 李群与李代数

1、理解李群 旋转矩阵SO(3),变换矩阵SE(3)
2、理解李代数 旋转矩阵so(3),变换矩阵se(3)
3、理解扰动模型（李代数）
4、sophus库运算

本节讲的是李群李代数，SO(3) SE(3)两个群及其李代数，$\color{red}{代表了旋转矩阵、变换矩阵的另一种表示形式}$代表了旋转矩阵、变换矩阵的另一种表示形式，
使用的原因是将其变化为无约束问题。

文章目录

• 0. 引言
• 4.1 李群与李代数基础
• 1. SO(3)与SE(3)
• 2. 群的性质（封结幺逆）
• 3. 李群的出现
• 4. $\color{red}{从李群到李代数}$从李群到李代数
• 5. 李代数的定义
• 6. 小结
• 4.2 指数与对数映射
• 1. so(3)的指数映射-----3维向量
• 2. se(3)的指数映射-----6维向量
• 3. $\color{red}{对应关系}$对应关系
• 4.3 扰动模型与李代数求导
• 1. 为什么要对李代数求导？
• 2. BCH近似表达
• 3.BCH的意义
• 4. SO(3)李代数的求导
• ----->直接求导法（较为复杂，一般不用，采用扰动）
• ----->扰动模型求导法(常用方法)
• 5. SE(3)李代数的求导
• 4.4 sophus库
• 4.5 相似变换群与李代数
• 终0. $\color{red}{书本笔记程序帮助理解}$书本笔记程序帮助理解

0. 引言

• $\color{red}{为什么引入李群与李代数？}$为什么引入李群与李代数？
• SLAM是通过最优化R,t使得误差最小，使得观测数据最贴合实际。
• 旋转矩阵作为优化变量时，其本身具有约束性，因此使用李群李代数的转换关系将之变成无约束的优化问题。

4.1 李群与李代数基础

1. SO(3)与SE(3)

2. 群的性质（封结幺逆）

3. 李群的出现

4. $\color{red}{从李群到李代数}$从李群到李代数

$\color{red}{以上求出了旋转矩阵的导数形式，也就是左乘某反对称矩阵}$以上求出了旋转矩阵的导数形式，也就是左乘某反对称矩阵

5. 李代数的定义

$\color{red}{so(3)}$so(3)

$\color{red}{se(3)}$se(3)

6. 小结

$\color{red}{旋转矩阵R对应了一个反对称矩阵，表示其导数，由指数映射给定关系，so(3)代表了一个三维向量（x,y,z）3*1}$旋转矩阵R对应了一个反对称矩阵，表示其导数，由指数映射给定关系，so(3)代表了一个三维向量（x,y,z）3∗1
$\color{red}{同理，变换矩阵T对应了一个反对称矩阵，表示其导数，有指数映射给定关系，se(3)代表了一个六维向量（平移+旋转）6*1}$同理，变换矩阵T对应了一个反对称矩阵，表示其导数，有指数映射给定关系，se(3)代表了一个六维向量（平移+旋转）6∗1

4.2 指数与对数映射

1. so(3)的指数映射-----3维向量

2. se(3)的指数映射-----6维向量

$\color{red}{注意J，后文BCH公式应用需要}$注意J，后文BCH公式应用需要

3. $\color{red}{对应关系}$对应关系

4.3 扰动模型与李代数求导

1. 为什么要对李代数求导？

• 李代数的使用是为了后续的优化，而优化过程中求导是必不可少的。

2. BCH近似表达

$\color{red}{左乘微小扰动时，可以视为加上一项微小位移。如上图。}$左乘微小扰动时，可以视为加上一项微小位移。如上图。
注意区分左乘、右乘

3.BCH的意义

4. SO(3)李代数的求导

背景：SLAM问题要求最优化。


求解思路有两种求导方法：

----->直接求导法（较为复杂，一般不用，采用扰动）

略过：按照导数定义进行求导

----->扰动模型求导法(常用方法)

5. SE(3)李代数的求导

4.4 sophus库

• 提供李代数库的支持

4.5 相似变换群与李代数

• 单目SLAM需要，用在闭环检测中
• 双目或RGBD slam不需要

终0. $\color{red}{书本笔记程序帮助理解}$书本笔记程序帮助理解