第三讲：三维刚体运动
一、什么是刚体运动
刚体运动：位置+姿态
例如：把相机看成三维空间的刚体，于是位置是指相机在空间中的哪个地方，而姿态则是指相机的朝向。
二、旋转矩阵
1、位置表示方法
某点在一个确定坐标系中的表示方法为：
其中为该坐标系的基，为该坐标系的位置。
內积：
外积：
2、坐标系间的欧式变换
在机器人的运动过程中，常设定一个惯性坐标系（或者叫世界坐标系），可以认为它是固定不动的，如 定义的坐标系。同时，相机或机器人则是一个移动坐标系，如 定义的坐标系。相机视野中某个向量 p，它的坐标为 ，而从世界坐标系下看，它的坐标 。这两个坐标之间通过矩阵 T 来进行变换。
我们设某个单位正交基 经过一次旋转，变成了 。那么，对于同一个向量a（注意该向量并没有随着坐标系的旋转而发生运动），它在两个坐标系下的坐标为 和 。根据坐标的定义，有：
为了描述两个坐标之间的关系，我们对上面等式左右同时左乘，那么左边的
系数变成了单位矩阵，所以：
我们把中间的阵拿出来，定义成一个矩阵 R。矩阵R 描述了旋转本身。因此它又称为旋转矩阵。
注：旋转矩阵是一个行列式为1的正交矩阵
把旋转矩阵的集合定义如下：
是特殊的正交群,旋转矩阵可以描述相机的旋转。
由于旋转矩阵为正交阵，它的逆（即转置）描述了一个相反的旋转。按照上面的定义方式，有：
在欧氏变换中，除了旋转之外还有一个平移。考虑世界坐标系中的向量 a，经过一次旋转（用 R 描述）和一次平移 t 后，得到了 a′，那么把旋转和平移合到一起，有：
3、变换矩阵与齐次坐标
T为变换矩阵
关于变换矩阵 T，它具有比较特别的结构：左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左下角为 0 向量，右下角为 1。这种矩阵又称为特殊欧氏群（Special Euclidean Group）：
与 SO(3) 一样，求解该矩阵的逆表示一个反向的变换：