深度学习----从RNN 到 LSTM 再到进化 GRU

• 一、从神经网络开始
  • • • 前向过程
      • 后向过程
• 二、从RNN到LSTM再到GRU
  • • • GRU
• 三：从Batch Normalization到Group Normalization
  • • • Batch Normalization
      • Group Normalization
• 四、比较

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论文：Empirical Evaluation of Gated Recurrent Neural Networks on Sequence Modeling

一、从神经网络开始

      $$神经网络包括前向过程和后向过程，前向过程定义网络结构，后向过程对网络进行训练（也就是优化参数），经过多轮迭代得到最终网络（参数已定）。

我们先来分析一个非常简单的三层神经网络：

西瓜书第102页

数据集

前向过程

       $$在输入层，假设该层节点数为d，也就是特征x的维度， 作为该层输出；在隐藏在输入层，假设该层节点数为d，也就是特征x的维度， 作为该层输出；在隐藏层中，该层节点数为q，每个节点的输入 αh${\alpha }_h$就是上一层所有节点输出xi$x_i$ 的线性组合值，该节点的输出 bh$b_h$是αj${\alpha }_j$ 的**值，这里假设使用sigmoid**函数；

       $$在输出层，该层节点数为l，也就是输出y的维度，同理，每个节点的输入 βj${\beta }_j$是 bh$b_h$ 的线性组合值，输出y′j$y_j^{\prime }$ 是βj${\beta }_j$的**值，根据不同任务选择不同**函数，比如二分类任务一般是用sigmoid**函数把y′j$y_j^{\prime }$限制到[0,1]之间。

后向过程

        $$那么我们的目标就是最小化Loss，调整参数和whj$w_{hj}$,vih$v_{ih}$ ，使得网络尽量去拟合真实数据。如何求最小值？那当然是求导了，根据loss函数对参数求导，然后往梯度下降的方向去更新参数，可以降低loss值。梯度主宰更新，如果梯度太小，会带来梯度消失问题，导致参数更新很慢；那如果梯度很大，又会造成梯度爆炸问题。对于输出层参数wij$w_{ij}$，E对whj$w_{hj}$ 进行链式求导，也就是，E先对节点的输出yj$y_j$ 求导，再对节点的输入βj${\beta }_j$ 求导，最后对whj$w_{hj}$求导，结果为：

∂E∂whj=∂E∂y′j∂y′j∂βj∂βj∂whj=(y′j−yj)⋅y′j(1−y′j)⋅bh$$\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{w}_{hj}}=\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}\frac{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}{\mathrm{\partial }{\beta }_j}\frac{\mathrm{\partial }{\beta }_j}{\mathrm{\partial }{w}_{hj}}=(y_j^{\prime }-y_j)\cdot y_j^{\prime }(1-y_j^{\prime })\cdot b_h$$

这里我们令 gj=(y′j−yj)⋅y′j(1−y′j)$g_j=(y_j^{\prime }-y_j)\cdot y_j^{\prime }(1-y_j^{\prime })$，就可以得到参数 whj$w_{hj}$ 的更新量为：

Δwhj=−η⋅gj⋅bh$$\mathrm{\Delta }{w}_{hj}=-\eta \cdot g_j\cdot b_h$$

就可以愉快地将更新 whj=whj+Δwhj$w_{hj}=w_{hj}+\mathrm{\Delta }{w}_{hj}$了。
    $$隐藏层参数vih$v_{ih}$，也是链式求导，E先对该层节点的输出bj$b_j$ 求导，再对节点的输入αj${\alpha }_j$ 求导，最后对 vih$v_{ih}$ 求导，其实在前面我们已经求出了部分梯度，最后结果为：

∂E∂vih=∂E∂bh∂bh∂αh∂αh∂vih=(∑j=1l∂E∂y′j∂y′j∂βj∂βj∂bh)⋅∂bh∂αh⋅∂αh∂vih$$\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{v}_{ih}}=\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{b}_h}\frac{\mathrm{\partial }{b}_h}{\mathrm{\partial }{\alpha }_h}\frac{\mathrm{\partial }{\alpha }_h}{\mathrm{\partial }{v}_{ih}}=(\sum _{j=1}^l\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}\frac{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}{\mathrm{\partial }{\beta }_j}\frac{\mathrm{\partial }{\beta }_j}{\mathrm{\partial }{b}_h})\cdot \frac{\mathrm{\partial }{b}_h}{\mathrm{\partial }{\alpha }_h}\cdot \frac{\mathrm{\partial }{\alpha }_h}{\mathrm{\partial }{v}_{ih}}$$

注意到，∂E∂y′j∂y′j∂βj$\frac{\mathrm{\partial }E}{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}\frac{\mathrm{\partial }{y}_j^{\prime }}{\mathrm{\partial }{\beta }_j}$其实我们刚刚求过，其实就是 这货，因此我们可得：再次令

eh=(∑j=1lgj⋅whj)⋅bh(1−bh)$$e_h=(\sum _{j=1}^l{g}_j\cdot w_{hj})\cdot b_h(1-b_h)$$

,可以得到 vih$v_{ih}$的更新量为：Δvih=−η⋅eh⋅xi$\mathrm{\Delta }{v}_{ih}=-\eta \cdot e_h\cdot x_i$也就可以愉快地将更新 vih=vih+Δvih$v_{ih}=v_{ih}+\mathrm{\Delta }{v}_{ih}$ 了。

等等，事情好像并没有这么简单，我们仔细观察 eh$e_h$ ，涉及到了这些东西：

      $$1）gj$g_j$ ：这是上一层传递过来的梯度，如果上一层的梯度本来已经很小，那么在这一层进行相乘，会导致这一层的梯度也很小。所以如果网络层比较深，那么在链式求导的过程中，越是低层的网络层梯度在连乘过程中可能会变得越来越小，导致梯度消失。

       $$2）whj$w_{hj}$ ：这是这一层的权重，这一项是造成梯度爆炸的主要原因，如果权重很大，也可能会导致相乘后的梯度也比较大。（梯度爆炸不是问题，做个梯度裁剪就行了，对梯度乘以一个缩放因子，我们主要考虑的是梯度消失问题）

        $$3）bh(1−bh)$b_h(1-b_h)$：这是sigmoid**函数的导数，sigmoid**值本身已经是一个比较小的数了，这两个小于1的数相乘会变得更小，就可能会造成梯度消失。

       $$我们直接来看sigmoid的这个图吧，只有在靠近0的区域梯度比较大（然而也不会超过0.25），在接近无穷小或者无穷大的时候梯度几乎是0了：

         $$所以sigmoid是造成梯度消失的一个重要原因，**函数其实是为了引入了非线性操作，使得神经网络可以逼近非线性函数。因此如果不是输出层必须要用sigmoid来限制输出范围，我一般是不用sigmoid的。

那么从**函数出发，缓解梯度消失有以下方法：
       $$1）不行就换，比如把sigmoid换成relu，在x>0的时候可以稳稳维持1的梯度。

        $$2）不想换那也行，既然我们知道sigmoid在靠近0的取值范围内梯度比较大，但我们可以把数据尽量规范化到一个比较合适的范围，也就是part III 要谈到的Normaliztion。

二、从RNN到LSTM再到GRU

        $$接下来我们再探讨一下RNN系列，也就是展开型的神经网络。RNN是最简单的循环神经网络，其实就是对神经网络展开k个step，所有step共享同一个神经网络模块S，我们还是直接来看图吧：

       $$这是一个序列预测任务，可以看到在RNN中Ws$W_s$ 和 Wx$W_x$这两个参数是共享的，注意噢：这里也有个共享的Wo$W_o$Wo$W_o$ ，但不是包含在RNN中的，只是用于序列预测而已。
在step t下，RNN的输出向量 st$s_t$ 是：

st=tanh(Wxxt+Wsst−1+b)$$s_t=tanh(W_x{x}_t+W_s{s}_{t-1}+b)$$

接下来Wo$W_o$和st$s_t$ 进行相乘得到step t下的预测值ot$o_t$ （加**函数也可以）。假设step t 的正确label是 yt$y_t$，我们现在还是将Loss函数定义为均方误差：

E=12∑t=1T(yt−ot)2$$E=\frac{1}{2}\sum _{t=1}^T(y_t-o_t{)}^2$$

也就是，每个step t 的loss是 Et=12(yt−ot)2$E_t=\frac{1}{2}(y_t-o_t{)}^2$，
             $$现在我们来看看怎么更新Wx$W_x$，可以看到在step t 下，计算ot$o_t$ 不仅涉及到了step t下的Wx$W_x$ ，也涉及到了前面step下的Wx$W_x$，来看这个反向传播路径图：

因此在step t下， 对求导需要对前面所有step的 依次进行求导，再加起来：

注意到有一个硕大的连乘符号，事情好像又开始变得不简单起来，我们来继续求导下去，在RNN中 s的**函数是tanh函数：

套路和前面的神经网络是一样的！这里又涉及到了**函数的梯度，以及网络的其它权重Ws$W_s$，而tanh$tanh$其实只是将sigmoid的范围从[0, 1]变到[-1, 1]而已：

<这货还是不能解决梯度消失的问题啊！另外，Ws$W_s$又可能会造成梯度爆炸，也就是说，RNN和普通的神经网络一样存在着梯度消失和爆炸的隐患，并且RNN网络又是展开的，相当于很深层的神经网络，因此梯度还比普通的神经网络要不稳定得多。
       $$另外，我们从矩阵的角度来看，

∂sj∂sj−1$$\frac{\mathrm{\partial }{s}_j}{\mathrm{\partial }{s}_{j-1}}$$

是个Jacobian矩阵（向量对向量求导），如果矩阵值太大显然会带来梯度爆炸（这个不是重点），重点是如果值比较小，而且又经过矩阵连乘，梯度值迅速收缩，最后可能会造成梯度消失。刚刚我们推导了 Wx$W_x$的梯度， Ws$W_s$其实也是一样的，这里不再重复推导。而 Wo$W_o$，前面讲到它不是属于RNN的，但是我们也不妨来推导一下：

∂EtWo=∂Et∂ot⋅∂ot∂Wo$$\frac{\mathrm{\partial }{E}_t}{W_o}=\frac{\mathrm{\partial }{E}_t}{\mathrm{\partial }{o}_t}\cdot \frac{\mathrm{\partial }{o}_t}{\mathrm{\partial }{W}_o}$$

咦！没错，在step t下， ot$o_t$只和这个step的 Wo$W_o$有关，和前面step的 Wo$W_o$都没关系，所以 Wo$W_o$的梯度对我们并没有什么威胁。 ####LSTM出场 上面讲到，RNN的梯度问题是产生于

∏j=i+1t∂sj∂sj−1$$\prod _{j=i+1}^t\frac{\mathrm{\partial }{s}_j}{\mathrm{\partial }{s}_{j-1}}$$

       $$这一项，LSTM作为RNN的改进版本，改进了共享的神经网络模块，引入了cell结构，其实也是为了在这一项中保持一定的梯度，把连乘操作改为连加操作。

我们来看看LSTM的内部结构，包含了四个门层结构： ;

引用自 Stanford CS231n slides

LSTM相信很多人看过这个：[译] 理解 LSTM 网络，但是我发现cs231n的公式更加简洁，把四个门层结构的权重参数合成一个W。

求导过程比较复杂，我们先看一下这一项：

和前面一样，我们来求一下 ，这里注意ft$f_t$ it$i_t$和 都是 ct−1$c_{t-1}$的复合函数：

∂ct∂ct−1=ft+∂ft∂ct−1⋅ct−1+...$$\frac{\mathrm{\partial }{c}_t}{\mathrm{\partial }{c}_{t-1}}=f_t+\frac{\mathrm{\partial }{f}_t}{\mathrm{\partial }{c}_{t-1}}\cdot c_{t-1}+...$$

      $$后面的我们就不管了，展开求导太麻烦了，第一项ft$f_t$是什么！ft$f_t$是f**orget gate的输出值，1表示完全保留旧状态，0表示完全舍弃旧状态**，那如果我们把 ft$f_t$设置成1或者是接近于1，那∂ct∂ct−1$\frac{\mathrm{\partial }{c}_t}{\mathrm{\partial }{c}_{t-1}}$ 这一项就有妥妥的梯度了。       $$**因此LSTM是靠着cell结构来保留梯度，forget gate控制了对过去信息的保留程度，如果gate选择保留旧状态，那么梯度就会接近于1，可以缓解梯度消失问题。**这里说缓解，是因为LSTM只是在 ct$c_t$到 ct−1$c_{t-1}$这条路上解决梯度消失问题，而其他路依然存在梯度消失问题。

      $$而且forget gate解决了RNN中的长期依赖问题，不管网络多深，也可以记住之前的信息。
      $$另外，LSTM可以缓解梯度消失，但是梯度爆炸并不能解决，但实际上前面也讲过，梯度爆炸不是什么大问题。

GRU

LSTM内部结构比较复杂，因此衍生了简化版GRU，把LSTM的input gate和forget gate整合成一个update gate，也是通过gate机制来控制梯度：

我们还是来求一下 \

∂ht∂ht−1$$\frac{\mathrm{\partial }{h}_t}{\mathrm{\partial }{h}_{t-1}}$$

，我们可以得到：

∂ht∂ht−1=(1−zt)+...$$\frac{\mathrm{\partial }{h}_t}{\mathrm{\partial }{h}_{t-1}}=(1-z_t)+...$$

那一串省略号我们还是不管，我们依然可以通过控制 "zt$"z_t$ 来控制梯度。
所以，我们现在可以看到，LSTM系列都是通过gate机制来缓解梯度消失问题的。

三：从Batch Normalization到Group Normalization

        $$现在我们已经知道：
1）**函数对梯度也有很大的影响，大部分**函数只在某个区域内梯度比较好。

2）在后向传播的时候，我们需要进行链式求导，如果网络层很深，**函数有权重又小，会导致梯度消失；如果权重很大，又会导致梯度爆炸。

那么解决梯度消失可以从这几方面入手：

1）换**函数；
2）调整**函数的输入；
3）调整网络结构

事实上，我们有一个好东西可以解决梯度问题，叫做Normalization，就是从第二方面入手同时解决梯度消失和爆炸，而且也可以加快训练速度。

Batch Normalization

假设对于一个batch内某个维度的特征 x1,x2,...,xm$x_1,x_2,...,x_m$
BN需要将其转化成y1,y2,...,ym$y_1,y_2,...,y_m$首先对节点的线性组合值进行归一化，使其均值是0，方差是1。（也就是，对节点的输入进行归一化，而不是对输出进行归一化）

其中 μ$\mu$ 是均值， σ2${\sigma }^2$是标准差，ε$\epsilon$是用来控制分母为正。
但是数据本来不是这样子的啊！我们强行对数据进行缩放，可能是有问题的，所以BN又加了一个scale的操作，使得数据有可能会恢复回原来的样子：

yi=γx′i+β$$y_i=\gamma x_i^{\prime }+\beta$$

     $$加了scale可以提升模型的容纳能力。

既然是Batch归一化，那么BN就会受到batch size的影响：

1）如果size太小，算出的均值和方差就会不准确，影响归一化，导致性能下降，

2）如果太大，内存可能不够用。

Group Normalization

因此上个月提出的GN，就是为了避免batch size带来的影响。乍一看标题以为做了啥大改革，BN要退出舞台了，其实只是归一化的方向不一样，不再沿batch方向归一化，他们的不同点就在于归一化的方向不一样：

BN：批量归一化，往batch方向做归一化，归一化维度是[N，H，W]

LN：层次归一化，往channel方向做归一化，归一化维度为[C，H，W]

IN：实例归一化，只在一个channel内做归一化，归一化维度为[H，W]

GN：介于LN和IN之间，在channel方向分group来做归一化，归一化的维度为[C//G , H, W]

四、比较

除语言建模外，GRU在所有任务上都优于LSTM
●MUT1与GRU在语言建模方面的表现相匹配，在所有其他任务上均优于GRU
●允许丢失时，LSTM在PTB上的性能明显优于其他体系结构
●增加大忘记栅极偏置可大大提高LSTM性能
●LSTM的遗忘门是最重要的，而输出门相对不重要

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参考文献：● RNN梯度消失和爆炸的原因
● https://zhuanlan.zhihu.com/p/36101196?utm_source=qq&utm_medium=social&utm_oi=761548970097917952