今天正式开始了对随机过程的学习，很懵，所以需要先复习一下概率论和数理统计的知识，才能进一步理解随机过程的一些概念和推导过程。
概率论
概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科。
接下来需要确定几个基本概念：
随机试验
1.在相同的实验条件下可以重复进行；
2.每次实验的结果具有多种可能性，并且在实验开始前可以确定实验的所有可能结果(也就是样本点)；
3.每次实验前不能准确预测实验后会出现哪种结果；
随机事件
在随机实验中，可能出现也可能不出现，但是在大量的重复实验中具有某种规律性的事件。
样本点
随机实验中每一个可能出现的实验结果称为一个实验的样本点。记作： ω i ( i = 1 , 2 , . . . ) \omega_{i}(i=1,2,...) ωi(i=1,2,...)
样本空间
全部样本点组成的集合称为这个实验的样本空间，记作：
Ω
\Omega
Ω
Ω
=
{
ω
1
,
ω
2
,
.
.
.
ω
n
,
.
.
.
}
\Omega=\left \{ \omega_{1},\omega_{2},...\omega_{n},...\right \}
Ω={ω1,ω2,...ωn,...}
在随机过程中，随机事件是样本空间的一个子集
随机变量
用数值来表示实验的结果，即样本空间数量化。
随机变量的的分布函数
设
X
X
X为随机试验的一个随机变量，称定义域为
(
−
∞
,
∞
)
(-\infty,\infty)
(−∞,∞)，函数值在
[
0
,
1
]
\left [ 0,1 \right ]
[0,1]上的实值函数：
F
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
(
−
∞
<
x
<
∞
)
F(x)=P(X\leq x) (-\infty<x<\infty)
F(x)=P(X≤x)(−∞<x<∞)
称为随机变量的分布函数。
随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量：
- 离散型随机变量用公式法和表格法来表示
- 连续型随机变量用概率密度函数来表示
概率论是数理统计的基础，数理统计是概率论的应用，我们通过对以上概率论基本概念的复习，接下来开始我们随机过程的了解学习。
随机过程
在概率论中，我们研究了随机变量， n n n维随机变量。在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但是只局限在他们之间相互独立的情形。将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程
首先我们需要知道的是研究随机过程需要在一个概率空间来完成的
那什么是概率空间呐？
概率空间 ( Ω , Σ , P ) (\Omega,\Sigma,P) (Ω,Σ,P)
- Ω \Omega Ω：样本空间
- Σ \Sigma Σ：样本空间的一些子集的集合
- p p p ：度量关系，或者叫样本函数
对每个参数 t ∈ T , X ( t , ω ) t\in T,X(t,\omega) t∈T,X(t,ω)( ω \omega ω是关于t的函数)是一定义在概率空间 ( Ω , Σ , P ) (\Omega,\Sigma,P) (Ω,Σ,P)上的随机变量。
则称随机变量族 X t = { X ( t , ω ) ; t ∈ T } X_{t}=\left \{ X(t,\omega);t\in T \right \} Xt={X(t,ω);t∈T}为该概率空间 ( Ω , Σ , P ) (\Omega,\Sigma,P) (Ω,Σ,P)上的随机过程。
随机过程一般记作
X
(
t
,
ω
)
,
X
t
(
ω
)
,
X
(
t
)
X(t,\omega),X_{t}(\omega),X(t)
X(t,ω),Xt(ω),X(t)
其中
T
⊂
R
T\subset R
T⊂R,称为指标集或参数集。
参数T一般表示时间或空间
随机过程的状态空间
随机过程 X ( t ) , t ∈ T X(t),t\in T X(t),t∈T可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作 S S S， S S S中的元素称为状态。
随机过程的分类
参数集 T T T有离散和连续之分
状态空间也有离散和连续之分
所以：
- 离散参数离散型随机过程
- 连续参数离散型随机过程 ( n , t ) (n,t) (n,t)
- 连续参数连续型随机过程 ( 布 朗 运 动 ) (布朗运动) (布朗运动)
- 离散参数连续型随机过程 ( s , n ) (s,n) (s,n)
随机过程的统计特征和概率特征有些区别
所以：
- 独立增量过程
- Markov过程
- 二阶矩过程
- 平稳过程
- 更新过程
- Poisson过程
- 维纳过程
随机过程的数字特征
设 { X ( t ) , t ∈ T } \left \{ X(t),t\in T\right \} {X(t),t∈T}是一随机过程，为了刻画他的随机特征，通常需要用到随机过程的数字特征，包括均值函数，方差函数，协方差函数，相关函数。