根的分布区间 | 二分搜索法

根的分布区间 | 二分搜索法
这只讨论单个非线性方程 $f(x)=0$ 的求根问题。

方程的根可能是实数根也可能是复（数）根，可能是单根也可能是多重根。关于单根和重根，有如下定义：

定义1：对于方程 $f(x)=0$ 。如果 $f(x^*)=0$ ，但它的一阶导数 $f'(x)\neq 0$ ，则称 $x^*$ 为方程 $f(x)=0$ 单根。推而广之，如果 $f(x^*)=f'(x^*)=f''(x^*)=\cdots=f^{(k)}(x^*)=0$ ，而 $f^{(k+1)}(x^*)\neq 0$ ，则称 $x^*$ 为方程 $f(x)=0$ 的 $k+1$ 重根。

假设 $f(x)$ 有一单根 $x^*$ ，则 $f(x)$ 可写成 $f(x)=(x-x^*)g(x)$ ，且有 $g(x^*)\neq 0$ 。对 $f(x)$ 求导，得 $f'(x)=g(x)+(x-x^*)g'(x)$ ，故 $f'(x^*)=g(x^*)\neq 0$ 。类似地，可以推导出k重根的条件。

对于多项式，其根的个数与方程的次数相同；对于超越方程，其根可能是一个、几个或无穷多个，也可能不存在。因此在解方程时，有必要弄清楚方程根的性质。

1. 根的分布区间

定义2：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)·f(b)<0$ ，方程 $f(x)=0$ 在 $[a,b]$ 内至少有一个根 $x^*$ ，则称 $[a,b]$ 为方程 $f(x)=0$ 的根 $x^*$ 的分布区间；如果在 $[a,b]$ 内只有一个根 $x^*$ ，则称 $[a,b]$ 为方程 $f(x)=0$ 的根 $x^*$ 的单根分布区间；如果在 $[a,b]$ 内只有一个根 $x^*$ ，并且始终有 $f'(x)\geq 0$ 或 $f'(x)\leq 0$ ，则称 $[a,b]$ 为方程 $f(x)=0$ 的根 $x^*$ 的单调分布区间。

2. 二分搜索法

将根的分布区间划分成两个部分，而方程的根必定会落在其中的一个部分或者就在划分点上，再对其中包含方程根的一个部分重复上述划分过程，从而不断缩小根的分布区间，直到根的分布区间的长度达到指定的精度要求为止。此时，根的分布区间内的任何一点，都是方程根的近似值。如果将根的分布区间划分成两个相等的部分，即将区间折半，这种二分法为对分法。

一般情况下，使用二分搜索法求方程的根，为了不漏掉方程的某些根，应该满足下面定理条件。

定理1：对实函数方程 $f(x)=0$ ，当 $x\in[a,c]$ 时， $f(x)$ 在 $[a,c]$ 上单调连续，且在两端点处为异号， $f(a)·f(c)<0$ ，则方程在分布区间 $[a,c]$ 上只有一个根。

用对分法求方程的单根

设方程 $f(x)=0$ 在区间 $[a_0,c_0]$ 上满足定理1的条件，且根的精确值为 $x^*$ ，计算误差为 $\epsilon$ 。用对分法求方程根的过程如下：

1）第一次对分

（1）确定区间中点：将根的初始分布区间 $[a_0,c_0]$ 折半，得中点 $b_0=\frac{a_0+c_0}{2}$ 。

（2）确定含根区间：若 $f(a_0)·f(b_0)=0$ ，则根 $x^*=b_0$ ，停止计算；若 $f(a_0)·f(b_0)<0$ ，则根 $x^*$ 在 $b_0$ 的左侧，取 $a_1=a_0,c_1=b_0$ ，得到缩小的根的分布区间 $[a_1,c_1]$ ；若 $f(a_0)·f(b_0)>0$ ，则根 $x^*$ 在 $b_0$ 的右侧，取 $a_1=b_0,c_1=c_0$ ，得到缩小的根的分布区间 $[a_1,c_1]$ 。

（3）确定区间大小： $[c_1-a_1]=[c_0-a_0]/2$ 。

（4）判断根的误差：取根的近似值为 $x_0=b_0=(a_0+c_0)/2$ ，与精确值 $x^*$ 的误差为：
$|e_0|=|x_0-x^*|\leq |c_1-a_1|=|c_0-a_0|/2$
若 $|e_0|<\epsilon$ ，则停止计算，否则继续对分过程。

2）第二次对分

（1）确定区间中点：将根的初始分布区间 $[a_1,c_1]$ 折半，得中点 $b_1=\frac{a_1+c_1}{2}$ 。

（2）确定含根区间：若 $f(a_1)·f(b_1)=0$ ，则根 $x^*=b_1$ ，停止计算；若 $f(a_1)·f(b_1)<0$ ，则根 $x^*$ 在 $b_1$ 的左侧，取 $a_2=a_1,c_2=b_1$ ，得到缩小的根的分布区间 $[a_2,c_2]$ ；若 $f(a_1)·f(b_1)>0$ ，则根 $x^*$ 在 $b_1$ 的右侧，取 $a_2=b_1,c_2=c_1$ ，得到缩小的根的分布区间 $[a_2,c_2]$ 。

（3）确定区间大小： $[c_2-a_2]=[c_0-a_0]/2^2$ 。

（4）判断根的误差：取根的近似值为 $x_1=b_1=(a_1+c_1)/2$ ，与精确值 $x^*$ 的误差为：
$|e_1|=|x_1-x^*|\leq |c_2-a_2|=|c_0-a_0|/2^2$
若 $|e_1|<\epsilon$ ，则停止计算，否则继续对分过程。

3）继续对分计算
$|e_{n-1}|=|x_{n-1}-x^*|\leq [c_n-a_n]=\frac{[c_0-a_0]}{2^n} \tag{1}$
直到 $|e_{n-1}|<\epsilon$ ，则停止计算，否则继续对分过程，直到计算误差满足要求为止。

根据（1）式，可以确定满足精度要求的最小对分次数为：
$n\geq \frac{lg(c_0-a_0)-lg\epsilon}{lg2}$

用二分法搜索方程的单实根

二分搜索法除了可用于求指定区间内 $(a,c)$ 的根以外，还可用于将一个近似根逐步精确化；也可用于求方程 $f(x)=0$ 在定义区间 $(a,c)$ 内的所有单重实根。其方法如下：

自区间 $(a,c)$ 的一个左端点a开始，并令 $a_0=a$ ，且以某一个基本步长h，向右取一个宽度为h的小区间 $(a_0,c_0=a_0+h)$ ，其中：

（1）若 $f(a_0)·f(c_0)<0$ ，说明该小区间内存在一个实根，则用对分法找出这个实根，并且以该根为新端点继续往右搜索，依次再找出其他实根。

（2）若 $f(a_0)·f(c_0)>0$ ，说明该小区间 $(a_0,c_0=a_0+h)$ 中不存在实根，则继续向右再取一个步长为h的小区间 $(a_0,c_0=a_0+2h)$ ，再次搜索。

这样，一个步长，一个步长地向右搜索，直至超过区间右端点 $c$ 为止，即可找到方程定义区间 $(a,c)$ 内所有单重实根。

显然，恰当地选择步长h是十分重要的。应使在所选择的一个步长内只有一个根，太大则会丢掉所要找的根，太小则会增加计算量。

二分搜索法除用于求方程的跟之外，实际应用中，常用于查表，即在一组按大小顺序排列的数据中，寻找所需要的那个数。它比用顺序查表发的查表效率大大提高。