特征值 特征向量

一个线性变换$A$A，它的特征向量$x$x，在对这个向量进行线性变换后，它的方向不变$Ax=\lambda x$Ax=λx.
方阵才有特征值。

图片出处

我还是有些东西想不明白，记录在这。
矩阵 线性变换 本质 基变换 特征向量 特征值 方阵 对称矩阵 变过去再变回来什么丢失了 平移 拉伸 旋转 方阵 协方差矩阵 矩阵分解 $A=U\Sigma V^T$A=UΣVT, $Ax=y$Ax=y, $U\Sigma V^Tx=y$UΣVTx=y, $\Sigma V^Tx=U^Ty$ΣVTx=UTy, $\Sigma x'=y'$Σx′=y′, $V^Tx=x'$VTx=x′, $x=Vx'$x=Vx′, $U^Ty=y'$UTy=y′, $y=Uy'$y=Uy′ 线性变换总是在各种基之间变来变去 维度的升降 标准正交基

我好像明白了，基不一定是标准正交基，模也不一定是1.$\Sigma x'=y'$Σx′=y′

矩阵$A$A代表一种线性变换，本质就是基变换。
$A=U\Sigma V^T=(U\Sigma^{\frac{1}{2}})(V\Sigma^{\frac{1}{2}})^T$A=UΣVT=(UΣ21​)(VΣ21​)T

$\begin{aligned} Ax &= y \\ (U\Sigma^{\frac{1}{2}})(V\Sigma^{\frac{1}{2}})^Tx &=y \\ (U\Sigma^{-\frac{1}{2}})^T(U\Sigma^{\frac{1}{2}})(V\Sigma^{\frac{1}{2}})^Tx &=(U\Sigma^{-\frac{1}{2}})^T y \\ (V\Sigma^{\frac{1}{2}})^Tx &=(U\Sigma^{-\frac{1}{2}})^T y \\ x' &= y' \end{aligned}$Ax(UΣ21​)(VΣ21​)Tx(UΣ−21​)T(UΣ21​)(VΣ21​)Tx(VΣ21​)Txx′​=y=y=(UΣ−21​)Ty=(UΣ−21​)Ty=y′​