Mesh Saliency论文阅读

问题

判定mesh上各点的“重要程度”，这里的重要程度，基本上是指在不同尺度（分辨率）下，几何特征的重要程度。

基本思想

在求解各点的平均曲率基础上，计算该点平均曲率在邻域内的显著性。类似于二维图像中金字塔的方法，建立三维模型的金字塔。

算法

假设我们已经计算得到了三维模型每个点上的平均曲率$\mathscr{C}(v)$C(v)，以高斯函数为权重（实际上就是一个带权的邻域，但通过全局计算，避免了对邻域直接求解），取$\sigma$σ为高斯函数方差（或半径），按照下式计算其高斯滤波后的平均曲率$G(\mathscr{C}(v), \sigma)$G(C(v),σ)：

$G(\mathscr{C}(v), \sigma)=\frac{\sum_{x \in N(v, 2 \sigma)} \mathscr{C}(x) e^{-\|x-v\|^{2} / (2 \sigma^{2})}}{\sum_{x \in N(v, 2 \sigma)} e^{-\|x-v\|^{2} / (2 \sigma^{2})}}$G(C(v),σ)=∑x∈N(v,2σ)​e−∥x−v∥2/(2σ2)∑x∈N(v,2σ)​C(x)e−∥x−v∥2/(2σ2)​

通过对不同$\sigma$σ的选取，事实上我们建立了三维模型的高斯金字塔。对于一个给定的$\sigma$σ，重要程度$\mathscr{S}(v)$S(v)计算方式如下：

$\mathscr{S}(v)=|G(\mathscr{C}(v), \sigma)-G(\mathscr{C}(v), 2 \sigma)|$S(v)=∣G(C(v),σ)−G(C(v),2σ)∣

显然，这和二维图像中计算特征点的方式也非常类似。

如果我们选择了多个不同的$\sigma_i$σi​，那么我们也可以得到不同的$\mathscr{S}_i$Si​。对于不同分辨率下的Saliency，我们通过加权求和得到最终的Saliency。加权的原则是，如果Saliency方差越大，权重越大，方差越小，权重越小。因此我们首先对$\mathscr{S}_i$Si​归一化，然后选出其中最大值$M_i$Mi​和平均值$\bar{m}_i$mˉi​，权重就是$\left(M_{i}-\bar{m}_{i}\right)^{2}$(Mi​−mˉi​)2。因此，最终的Saliency为

$\mathscr{S}=\sum_{i} (M_i-\bar{m}_i)^{2} \mathscr{S}_{i}$S=i∑​(Mi​−mˉi​)2Si​

Saliency计算非常简单，到这里就结束了，所以下面是对重要性的两个简单应用。

应用：模型简化

QSlim

首先介绍QSlim算法，然后讲Saliency如何改进QSlim算法。QSlim算法基本思想，是每次合并一组相邻的顶点，使得顶点数量越来越少。对于每一个顶点$v$v，相邻平面组成的几何为$P$P。遍历每一个$p \in P$p∈P，计算平面方程$ax+by+cz+d=0,a^2+b^2+c^2=1$ax+by+cz+d=0,a2+b2+c2=1，将四个系数表示成$p=(a~b~c~d)^T$p=(a b c d)T。对于任何一点$x$x，计算它到平面的距离为$x^Tpp^Tx$xTppTx。计算它到顶点$v$v邻近所有平面的距离之和，如果将$pp^T$ppT写成$Q_p$Qp​，则距离和为$\sum_p x^TQ_px = x^T (\sum_p Q_p) x$∑p​xTQp​x=xT(∑p​Qp​)x。将$\sum_p Q_p$∑p​Qp​记做$Q_v$Qv​。

对于一对相邻的点$(v_i,v_j)$(vi​,vj​)，分别计算$v_i$vi​到以$v_j$vj​为中心的所有面的距离，和$v_j$vj​到以$v_i$vi​为中心的所有面的距离，并求和，得到$v_i^T Q_{v_j} v_i + v_j^T Q_{v_i} v_j$viT​Qvj​​vi​+vjT​Qvi​​vj​。如果我们要合并$v_i$vi​和$v_j$vj​到中间的一点$\bar{v}$vˉ，则$\bar{v}$vˉ对应的距离为$\bar{v}^T (Q_{v_j} + Q_{v_i}) \bar{v}$vˉT(Qvj​​+Qvi​​)vˉ（称之为Quadric）。对于每一条边，我们计算这一$\bar{v}$vˉ和对应的距离和，将最小距离和的那一对边进行合并。合并后，新的$Q_{\bar{v}} = Q_{v_i} + Q_{v_j}$Qvˉ​=Qvi​​+Qvj​​，并更新所有会影响到的邻近的边的$\bar{v}$vˉ和Quadric值。

Saliency的改进

Saliency的改进是，包含模型特征的点不应该过早地被合并。因此，它给Quadric值之上，额外增加了一个权重项，这个权重项附带在每个顶点上，为

$\mathscr{W}(v)=A(\mathscr{S}(v), \alpha, \lambda)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda \mathscr{S}(v) & \text { if } \mathscr{S}(v)>=\alpha \\ \mathscr{S}(v) & \text { if } \mathscr{S}(v)<\alpha \end{array}\right.$W(v)=A(S(v),α,λ)={λS(v)S(v)​ if S(v)>=α if S(v)<α​

即如果Saliency小于某一阈值$\alpha$α，则权重就是Saliency值；如果大于阈值，则表示极其关键的特征，因此需尽量不被合并，因此再额外增加一个比例系数$\lambda>1$λ>1。在原文中，作者取$\lambda=100$λ=100，$\alpha$α为第30大的saliency值。

注意到这个权重是加在顶点上的，对于边$e(v_i,v_j)$e(vi​,vj​)，则权重为$\mathscr{W}\left(v_{i}\right)+\mathscr{W}\left(v_{j}\right)$W(vi​)+W(vj​)。

原文给了一个例子，见Figure 9，可以看到，在Saliency权重下，特征得到了更好地保持。

应用：视角选择

假设在视角$v$v下，能看到的部分模型表面顶点集合为$F(v)$F(v)。则对于视角下的Saliency总和$U(v)$U(v)，为

$U(v)=\Sigma_{x \in F(v)} \mathscr{S}(x)$U(v)=Σx∈F(v)​S(x)

显然，最佳视角应该是$v_{m}=\operatorname{argmax}_v U(v)$vm​=argmaxv​U(v)。在Saliency算法之前，$U(v)$U(v)通常是所有可见顶点的平均曲率之和。

直接计算$v_m$vm​会非常耗时，作者使用了梯度下降的方法，先随机选择一个视角$v(\theta,\phi)$v(θ,ϕ)，其中$\theta$θ和$\phi$ϕ分别表示经度和纬度。然后搜索附近的视角，选择使Saliency和最大的一个，重复上述过程。多选几个随机初始点，重复过程。

结果显示（见Figure 11），Saliency的视角选择比直接平均曲率视角选择要更好。