第四章泊松过程2

泊松过程2

• 1泊松过程的等价定义
• 1.1定义
• 1.2定理
• 1.3例题
• 2泊松过程到达的条件分布
• 2.1仅有一个点到达的情况
• 2.2更一般的情况
• 2.3例题

1泊松过程的等价定义

1.1定义

1. $N_0=0$N0​=0
2. N是平稳的独立增量过程
   对于很小的h，有
3. $P\{N_{t+h}-N_t=1\}=\lambda h+o(h)$P{Nt+h​−Nt​=1}=λh+o(h)
4. $P\{N_{t+h}-N_t=0\}=1-\lambda h+o(h)$P{Nt+h​−Nt​=0}=1−λh+o(h)
   

1.2定理

1. 泊松过程必满足“0-1”律
2. 如果计数过程满足独立平稳增量且满足“0-1”律，则该过程为泊松过程

1.3例题

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解：

1. $T_{100}$T100​
2. $E[T_{100}]=n/\lambda=100/5=20$E[T100​]=n/λ=100/5=20
3. $\tau$τ服从指数分布，$f(\tau)=\lambda e^{-\lambda\tau}$f(τ)=λe−λτ
4. $E[\tau_n]$E[τn​]

2泊松过程到达的条件分布

2.1仅有一个点到达的情况

设$N=\{N_t,t\geq 0\}$N={Nt​,t≥0}服从泊松分布，那么在$N_t=1$Nt​=1的条件下，过程的第一个随机点到达的时间$T_1$T1​服从$[0,t_1]$[0,t1​]上的均匀分布即
$P(T_1<s|N_t=1)=s/t$P(T1​<s∣Nt​=1)=s/t
证明：
$P(T_1<s|N_t=1)=\frac{P(T_1<s,N_t=1)}{P(N_t=1)}=\frac{P(N_s=1,N_t-N_s=0)}{P(N_t=1)}=\lambda se^{-\lambda s}e^{-\lambda (t-s)}/\lambda te^{-\lambda t}=s/t$P(T1​<s∣Nt​=1)=P(Nt​=1)P(T1​<s,Nt​=1)​=P(Nt​=1)P(Ns​=1,Nt​−Ns​=0)​=λse−λse−λ(t−s)/λte−λt=s/t

2.2更一般的情况

设$N=\{N_t,t\geq 0\}$N={Nt​,t≥0}服从泊松分布，那么在$N_t=n$Nt​=n的条件下，随机点的n个到达时刻$T_1<T_2<...<T_n$T1​<T2​<...<Tn​有以下联合概率密度函数：
$p(u_1,u_2,...,u_n)=\frac{n!}{t^n}$p(u1​,u2​,...,un​)=tnn!​
证明：

所以$p(u_1,u_2,...,u_n)=\frac{n!}{t^n}$p(u1​,u2​,...,un​)=tnn!​

2.3例题