捷联惯导系统学习3.2(地球的正常重力场)

圆球模型下的地球重力

如图，重力为引力与离心力作用的共同结果，其中
引力：$F=\frac{GM}{r^2}=\frac{u}{r^2}（G引力常数，M为地球质量，r为质点到地心距离）$F=r2GM​=r2u​（G引力常数，M为地球质量，r为质点到地心距离）
离心力：$F'=w^2RcosL(R为圆球半径，L为地球纬度)$F′=w2RcosL(R为圆球半径，L为地球纬度)
引力与离心力的夹角为$\pi-L$π−L可以得到
$g_e=F-w^2R(赤道上的重力大小)$ge​=F−w2R(赤道上的重力大小)
$\frac{w^2R}{g_e}(赤道上的离心力与重力比)$ge​w2R​(赤道上的离心力与重力比)
$g_L\approx g_e(1+\frac{w^2R}{g_e}sin^2L)$gL​≈ge​(1+ge​w2R​sin2L)

椭球模型下的地球重力（推导略）

$R_e：地球长半轴$Re​：地球长半轴
$R_p：地球短半轴$Rp​：地球短半轴
$g_e:地球赤道重力$ge​:地球赤道重力
$g_p:地球极点重力$gp​:地球极点重力
$g_L:为地理纬度L初椭球表面引力大小$gL​:为地理纬度L初椭球表面引力大小
$g_L=\frac{R_eg_ecos^2L+R_pg_psin^2L}{\sqrt{R^2_ecos^2L+R_p^2sin^2L}}（索密里安公式）$gL​=Re2​cos2L+Rp2​sin2L​Re​ge​cos2L+Rp​gp​sin2L​（索密里安公式）
实际常用如下公式代替：
$f（椭球扁率）$f（椭球扁率）
$m=\frac{w^2R_e}{u/(R_eR_p)}\approx\frac{w^2Re}{ge}$m=u/(Re​Rp​)w2Re​​≈gew2Re​
$\beta_1=\frac{1}{8}(2\beta f+f^2)$β1​=81​(2βf+f2)
$\beta=\frac{5}{2}m-f$β=25​m−f
$g_L=ge(1+\beta^2 sin^2L-\beta_1sin^22L)$gL​=ge(1+β2sin2L−β1​sin22L)
波斯坦系统（1901年）
$g_L=9.7803(1+0.005302sin^2L-0.000007sin^22L)(m/s^2)$gL​=9.7803(1+0.005302sin2L−0.000007sin22L)(m/s2)
国际正常重力公式（1928）
$g_L=9.78049(1+0.0052884sin^2L-0.0000059sin^22L)(m/s^2)$gL​=9.78049(1+0.0052884sin2L−0.0000059sin22L)(m/s2)
大地参考坐标系（1980）
$g_L=9.780327(1+0.00530224sin^2L-0.00000585sin^22L)(m/s^2)$gL​=9.780327(1+0.00530224sin2L−0.00000585sin22L)(m/s2)
WGS-84（1987）大地坐标系|
$g_L=9.780325(1+0.00530240sin^2L-0.00000582sin^22L)(m/s^2)$gL​=9.780325(1+0.00530240sin2L−0.00000582sin22L)(m/s2)

重力与高度关系

海大地坐标下点$H(L,\lambda,h)$H(L,λ,h)的重力为：
$\beta_2\approx 2\frac{u}{R^3}(R地球半径m,u引力常数)$β2​≈2R3u​(R地球半径m,u引力常数)
$g_{LH}=g_0(1+\beta sin^2L+\beta_1sin^22L)-\beta_2h$gLH​=g0​(1+βsin2L+β1​sin22L)−β2​h
地理垂线与真垂线夹角为：
$\xi=\frac{\beta_3*h*sin2L}{g_{LH}}$ξ=gLH​β3​∗h∗sin2L​
将地理垂线与真垂线夹角投影到地理坐标系:
$g^g=\left[\begin{matrix} 0\\ -g_{LH}sin\xi\\ -g_{LH}cos\xi\\ \end{matrix}\right]\approx \left[\begin{matrix} 0\\ -\beta hsin2L\\ -g_{LH}\\ \end{matrix}\right]$gg=⎣⎡​0−gLH​sinξ−gLH​cosξ​⎦⎤​≈⎣⎡​0−βhsin2L−gLH​​⎦⎤​