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学习目标：
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“基本操作”、渐进时间复杂度、O ！“最大连续和”问题的各种算法及其时间复杂度分析 算法分析的优点和局限性，使用分析结果 ！归并排序和逆序对统计的分治算法 快速选择和快速选择算法 ！！二分查找算法，包括找上下界的算法 能用递归的方式思考和求解问题 ！！二分法求解非线性方程 ！！二分法把优化问题转化为判定问题 ！贪心法的各类经典问题 |
枚举、回溯等暴力方法：较低效。越通用，越不能挖掘问题的特殊性
8.1算法分析初步
在编程之前估计时空开销（如果又复杂又慢，就不要急着写出来）
渐进时间复杂度
例8-1：长度n序列，求最大连续和。
解：
#include<stdio.h>
//#define LOCAL
#define N 3
int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("data.in","r",stdin);
freopen("data.out","w",stdout);
#endif
int A[N]={-1,1,2};
int max=A[0];
int sum=0;
int i,j;
for(i=0;i<N;i++){
//sum清零，从i加到j，比较
sum=0;
for(j=i;j<N;j++){
sum+=A[j];//也是递推思想
if(sum>max)max=sum;
}
}
printf("max:%d",max);
return 0;
}Max初值为A[0]最保险，初值为0在所有值为负时可能出现问题
基本操作的数量，排除机器影响，衡量算法操作的次数。
渐进时间复杂度：基本操作的数量用输入规模表达式，保留最大项忽略系数。衡量操作数随规模的增长情况
输入规模为n时：
上界分析
上界分析：所有最坏情况同时取到
渐进时间复杂度推导：3重循环，每层最坏n次，总运算次数<=n^3（数量级一致，紧上界）
分治法
步骤：划分子问题，递归解决子问题，合并子问题得到解
把元素分成两半，分别求最佳序列，求出起点位于左半，终点位于右半的最大序列，并和子问题的最优解比较
关键在于合并，先寻找最佳起点，在寻找最佳终点
区间分割、取平均数技巧
取最大值符号>?经过尝试，编译错误，这里用函数greater代替
#include<stdio.h>
//#define LOCAL
#define N 3
int greater(int a,int b){
return a>b?a:b;
}
int maxsum(int* A,int x,int y){//返回[x,y)区间的最大序列和
int max; //分段后局部最大值
int m;//分界点
int v,i;
int L,R;//从分界点外扩左右两段全局最大值
if(y-x<=1)return A[x];//只有一个元素时直接返回
m=x+(y-x)/2;//确定分界点
// max=maxsum(A,x,m)>?maxsum(A,m,y);//递归，分段后局部最大值
max=greater(maxsum(A,x,m),maxsum(A,m,y)) ;
//求拼接和
v=0;L=A[m-1];
// for(i=m-1;i>=x;i--) L>?=v+=A[i];//分界点往外全局最大值
for(i=m-1;i>=x;i--){
// L=greater(L,v+=A[i]);
v+=A[i];
L=greater(L,v);
}
v=0;R=A[m];
// for(i=m;i<y;i++) R>?=v+=A[i];//分界点往外全局最大值
for(i=m;i<y;i++) R=greater(R,v+=A[i]);
// return max >?(L+R);//局部最优与全局最优比较
return greater(max,(L+R));
}
int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("data.in","r",stdin);
freopen("data.out","w",stdout);
#endif
int A[N]={-1,1,2};
printf("max:%d",maxsum(A,0,3));
return 0;
}另一个细节-计算分界点：
计算机是朝0取整（只取整数部分），而不是向下取整（负数时不同）
用x+(y-x)/2代替(x+y)/2可以达到向下取整的效果
法四：
N、nlog2N规模大，随速度增长快
有效算法：渐进时间复杂度为多项式（多项式时间算法）
指数时间算法：n!、2^n