非线性方程求根

文章目录

• 非线性方程求根
• 隔根区间
• 描图法
• 逐步搜索法
• 例题
• 二分法
• 步骤
• 讨论
• 例题
• 迭代法
• 简单迭代法
• 收敛性
• 例题
• 迭代法收敛的充分条件
• 定理1
• 例题
• 牛顿迭代法
• 牛顿迭代法：$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime}(x_k)}$xk+1​=xk​−f′(xk​)f(xk​)​
• 收敛性
• 弦割法

非线性方程求根

隔根区间

即位只包含一个根的区间

描图法

画出 $y=f(x)$y=f(x) 的函数图像大致判断根所在的区间

可将函数变形，更好绘图

比如将 $f(x)=x^3-x-1$f(x)=x3−x−1 变形为 $x^3=x+1$x3=x+1 作图，交点所在位置即为根所在区间

逐步搜索法

1. 确定实根所在区间 $[a,b]$[a,b]
2. 确定步长 $h=(b-a)/n$h=(b−a)/n
3. 用零点定理判断每个小区间是否存在根

• 对于多项式存在以下结论

例题

二分法

通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩小，从而可得方程的近似根数列 $\{x_n\}${xn​}

步骤

令 $f(a)<0,f(b)>0$f(a)<0,f(b)>0

1. 若 $f(\frac{a+b}{2})=0$f(2a+b​)=0 ，则 $x^*=(a+b)/2$x∗=(a+b)/2
2. 若 $f(\frac{a+b}{2})<0$f(2a+b​)<0 ，隔根区间变为 $[(a+b)/2,b]$[(a+b)/2,b]
3. 若 $f(\frac{a+b}{2})>0$f(2a+b​)>0 ，则 $[a,(a+b)/2]$[a,(a+b)/2]\

讨论

• $x*\approx(a_k+b_k)/2,$x∗≈(ak​+bk​)/2, $k$k 足够大
• $b_k-a_K=(b-a)/2^k$bk​−aK​=(b−a)/2k
• 误差为 $|x*-x_k|\leq(b_k-a_k)/2=(b-a)/2^{k+1}$∣x∗−xk​∣≤(bk​−ak​)/2=(b−a)/2k+1
• 若事先给定精度要求 $eps$eps ，只需要 $(b-a)/2^{k+1}<eps$(b−a)/2k+1<eps
• 不能求复根及偶数重根

例题

迭代法

简单迭代法

将 $f(x)=0$f(x)=0 转化为 $x=g(x)$x=g(x)

假设 $g(x)$g(x) 为连续函数

任取一个初值 $x_0$x0​ ，代入 $g(x)$g(x)

$x_1=g(x_0)$x1​=g(x0​)

$x_2=g(x_1)$x2​=g(x1​)

$\cdots\cdots$⋯⋯

$x_{k+1}=g(x_k)$xk+1​=g(xk​)

该过程被称为简单迭代法

收敛性

$g(x)$g(x) 迭代函数，$x_0$x0​ 为初始近似值，$x_k$xk​ 为第 $k$k 步迭代值

如果存在一点 $x^*$x∗ 使得 $\{x_k\}^{\infty}_{0}${xk​}0∞​

${\lim_{k \to +\infty}}{x_k}=x^*$k→+∞lim​xk​=x∗

则称迭代法收敛，否则称为发散

例题

迭代法收敛的充分条件

将 $x=g(x)$x=g(x) 建图模拟

定理1

设迭代函数 $g(x)$g(x) 在 $[a,b]$[a,b] 上连续且满足

1. 当 $x\in[a,b]$x∈[a,b] 时， $a\leq g(x) \leq b$a≤g(x)≤b
2. 存在一个正数 $L$L , 满足 $0<L<1$0<L<1 , 且 $\forall x \in[a,b]$∀x∈[a,b] ，有 $|g^{，}(x)|\leq L$∣g，(x)∣≤L

则

1. 方程 $x=g(x)$x=g(x) 在 $[a,b]$[a,b] 内有唯一解 $x^* $
2. 对于任意 $x_0\in[a,b]$x0​∈[a,b]，$x=g(x)$x=g(x) 均收敛于 $x^*$x∗
3. $|x_k-x^*|\leq \frac{1}{1-L}|x_{k+1}-x_k|$∣xk​−x∗∣≤1−L1​∣xk+1​−xk​∣
4. $|x_k-x^*|\leq \frac{L^K}{1-L}|x_1-x_0|$∣xk​−x∗∣≤1−LLK​∣x1​−x0​∣

例题

牛顿迭代法

$f(x)$f(x) 在区间 $[a,b] $ 可导，且对于 $x \in[a,b]$x∈[a,b]， 有 $f^{\prime}(x) \not= 0$f′(x)​=0

牛顿迭代法：$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^{\prime}(x_k)}$xk+1​=xk​−f′(xk​)f(xk​)​

其实就是泰勒展开的前两项

收敛性

用定理一可证明

用定理四可证明

弦割法

将牛顿迭代式中

$f^{\prime}(x_k)\approx \frac{x_k-x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$f′(xk​)≈f(xk​)−f(xk−1​)xk​−xk−1​​