在学习线性代数的时候，通常在学完了向量的基本运算后就开始学习点积了， 但是为了能够正确理解点积的意义。我们在理解线性变换后使用线性变换的思想来重新理解点积。
如果我们有两个维数相同的向量，那这两个向量的点积就是相对应的坐标分量相乘再相加。
[ a 1 b 1 ] ⋅ [ a 2 b 2 ] = a 1 × a 2 + b 1 × b 2 \begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix} = a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2 [ a 1 b 1 ] ⋅ [ a 2 b 2 ] = a 1 × a 2 + b 1 × b 2
[ a 1 b 1 c 1 ] ⋅ [ a 2 b 2 c 2 ] = a 1 × a 2 + b 1 × b 2 + c 1 × c 2 \begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{bmatrix} = a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2 + c_1 \times c_2 ⎣ ⎡ a 1 b 1 c 1 ⎦ ⎤ ⋅ ⎣ ⎡ a 2 b 2 c 2 ⎦ ⎤ = a 1 × a 2 + b 1 × b 2 + c 1 × c 2
这个运算在几何上也有这样一个投影的解释。
向量 v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w w ⃗ \vec{w} w v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w
如果向量 v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w
如果向量 v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w v ⃗ ⋅ w ⃗ \vec{v} \cdot \vec{w} v ⋅ w
所以向量点积的数值也可以使用余弦定理来计算
v ⃗ ⋅ w ⃗ = cos ( θ ) × ∣ v ⃗ ∣ × ∣ w ⃗ ∣ \vec{v} \cdot \vec{w} = \cos(\theta) \times |\vec{v}| \times |\vec{w}| v ⋅ w = cos ( θ ) × ∣ v ∣ × ∣ w ∣
θ \theta θ v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w
我们看上面向量点积公式的运算方法，就像是矩阵向量乘法。
[ a 1 b 1 ] × [ a 2 b 2 ] = a 1 × a 2 + b 1 × b 2 \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix} = a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2 [ a 1 b 1 ] × [ a 2 b 2 ] = a 1 × a 2 + b 1 × b 2
[ a 1 b 1 ] ⋅ [ a 2 b 2 ] = a 1 × a 2 + b 1 × b 2 \begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_2 \\ b_2 \end{bmatrix} = a_1 \times a_2 + b_1 \times b_2 [ a 1 b 1 ] ⋅ [ a 2 b 2 ] = a 1 × a 2 + b 1 × b 2
从上面的计算结果看来，在这里的 1 × 2 1 \times 2 1 × 2 1 × 2 1 \times 2 1 × 2
首先让我们来看看将二维向量转换为数的变换，由于需要将二维向量压缩到一维，所以在原来二维空间中的基向量 i ^ \hat{i} i ^ j ^ \hat{j} j ^ 1 × 2 1 \times 2 1 × 2
为了更加直观地理解，我们在二维空间中添加一条数轴，并定义一个二维向量 u ^ \hat{u} u ^
现在为了将二维空间中的任意向量投影到这一条数轴上，我们需要找到一个这样的 1 × 2 1 \times 2 1 × 2 i ^ \hat{i} i ^ j ^ \hat{j} j ^
为了搞清楚 i ^ \hat{i} i ^ i ^ \hat{i} i ^ u ^ \hat{u} u ^ u ^ \hat{u} u ^ i ^ \hat{i} i ^ i ^ \hat{i} i ^ u ^ \hat{u} u ^ u ^ \hat{u} u ^ i ^ \hat{i} i ^ i ^ \hat{i} i ^ u ^ \hat{u} u ^ u ^ \hat{u} u ^ i ^ \hat{i} i ^ u ^ \hat{u} u ^ i ^ \hat{i} i ^ u ^ \hat{u} u ^ u x u_x u x i ^ \hat{i} i ^ u ^ \hat{u} u ^ u x u_x u x
同理，j ^ \hat{j} j ^ u ^ \hat{u} u ^ u y u_y u y
至此，我们已经得出了这里变换后的 i ^ \hat{i} i ^ j ^ \hat{j} j ^ 1 × 2 1 \times 2 1 × 2 [ u x u y ] \begin{bmatrix} u_x & u_y \end{bmatrix} [ u x u y ] v ⃗ \vec{v} v u ^ \hat{u} u ^ v ⃗ \vec{v} v u ^ \hat{u} u ^ [ v x v y ] ⋅ [ u x u y ] = [ u x u y ] × [ v x v y ] \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_x & u_y \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} [ v x v y ] ⋅ [ u x u y ] = [ u x u y ] × [ v x v y ]
如果我们把上面数轴中的 u ^ \hat{u} u ^ 3 u ^ 3\hat{u} 3 u ^ v ⃗ \vec{v} v 3 u ^ 3\hat{u} 3 u ^ [ v x v y ] ⋅ [ 3 u x 3 u y ] = 3 × ( [ v x v y ] ⋅ [ u x u y ] ) \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3u_x \\ 3u_y \end{bmatrix} = 3 \times \left( \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} \right) [ v x v y ] ⋅ [ 3 u x 3 u y ] = 3 × ( [ v x v y ] ⋅ [ u x u y ] ) v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w v ⃗ \vec{v} v w ⃗ \vec{w} w w ⃗ \vec{w} w w ⃗ \vec{w} w v ⃗ \vec{v} v v ⃗ \vec{v} v
=
如果有一个将二维转换到一维的变换，那么这个变换肯定有一个对应的二维向量 v ⃗ \vec{v} v 1 × 2 1 \times 2 1 × 2 v ⃗ \vec{v} v
这一部分放到三维向量空间也是适用的，一个代表三维到一维的变换能够和三维空间中的一个向量对应起来。任意一个三维向量与这个变换做乘法等于与这个向量作点积。