吴恩达机器学习课笔记week 3

本周主要讲分类、逻辑回归以及正则化

分类

分类问题的几个例子

1. 判别一个邮件是/不是垃圾邮件
2. 判别一个转账交易是/不是欺诈交易
3. 判别肿瘤是恶性/良性
   也就是说输出的y的取值是{0,1}$\{0,1\}$，0一般表示negative class，1表示positive class。对于多类别则是y∈{0,1,2,3,...}$y\in \{0,1,2,3,...\}$。

  线性回归解决这个分类问题会有什么问题？
如下图所示：

如果用线性回归的话，会出现假如样本点有一个离均值很远的点的情况下，这个点导致整个判别面发生巨大的改变。这里边最主要的一点就是线性回归的y=hθ(x)$y=h_{\theta }(x)$可以＞1可以＜0。我们希望能够有一个方法使得0≤y≤1$0\le y\le 1$。

逻辑回归的hypothesis representation

  如下图所示：

我们在线性回归的基础上，外边套上一个非线性函数使得输出在[0,1]之间。这个函数就是sigmoid 函数，或者叫logistic函数。

hθ(z)=11+exp(−z)=11+exp(−θTx)$$h_{\theta }(z)=\frac{1}{1+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-z)}=\frac{1}{1+\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-{\theta }^{T}x)}$$

  那么现在这个hθ(x)$h_{\theta }(x)$表达的是什么意思呢？表达的是对一个输入x，y等于1的概率是多少。也就是说假如y=0.1，那么说明P(y=1)=0.1，P(y=0)=0.9。这就是逻辑回归。

逻辑回归的决策面

  如下图所示：

假如我们认定如果hθ(x)>0.5$h_{\theta }(x)>0.5$的话，我们就判定y=1$y=1$那么，也就是要求z=θTx>0$z={\theta }^{T}x>0$。
所以对于线性分类面，只要考虑z>0$z>0$和z<0$z<0$的情况即可：

非线性的分类面也是如此：

逻辑回归的cost function

不能使用线性回归的cost function，因为直接使用的话，cost function 会变成非凸函数。而是使用如下的：

梯度下降

优化进阶

  其实出了梯度下降之外，还有很多其他进阶的优化方法，这些方法比梯度下降的方法要快，但是会比较复杂。

多分类：one vs all

  one vs all（rest）这种方法，其实就是对每一类i，训练一个逻辑回归分类器，然后有新的输入x，那么找到一个i，使得hiθ(x)$h_{\theta }^i(x)$最大。

正则化

过拟合

  过拟合就是因为模型的feature太多，结果导致对训练集上拟合的很好，但是泛化能力很弱。

过拟合的处理方法

  过拟合有几种处理方法，一种是减少feature数量，然后在模型之间选择，另外就是正则化，正则化就是减少参数θj${\theta }_j$的幅度，这样每一个feature都会给最终的模型贡献一点点。这个对于很多feature的情况下很有用。

Intuition

  其实就是假如各个参数的大小比较小，那么一些高次的feature贡献的就少，这时候就能够不要那么过拟合。

方法就是在cost function后边加上一个λ∑Nj=1θj$\lambda \sum _{j=1}^N{\theta }_j$

加上正则化之后，过拟合的情况就会得到改善：

正好有一个小问题：假如λ$\lambda$选的很大会出现什么结果？答：underfitting，没法拟合了。

如下图所示：

线性回归的正则化

如下图所示，其实可以看出来，L2 Regularization等价于weight decay：

如果是正规方程的方法：

可以看到，假如XXT$X{X}^T$是奇异的，那么经过正则化之后，变成非奇异的：

其实思路很简单，因为XXT$X{X}^T$的特征值一定是非负的，非零特征值一定大于1个，那么加上这个矩阵之后，所有特征值都是整的了，那么就不是奇异的了。

逻辑回归的正则化

同样，加上weight decay。