目录
一、定义
二叉查找树（Binary Search Tree），也叫二叉搜索树或二叉排序树，它或者是一棵空树。
二叉查找树具有下列性质：
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树；
下图就是一个标准的二叉查找树：
可见，从根节点50开始，左子树的所有节点的值都比根节点50小，右子树的所有节点的值都比根节点大。
二、二叉查找树的搜索
根据上面提到的二叉查找树的特性，当搜索一个节点在树中的位置时，我们需要从根节点出发：
- （1）如果查找的元素对应的值比当前节点对应的值小，则到它的左子树去进行查找；
- （2）如果查找的元素对应的值比当前节点对应的值大，则到它的右子树去进行查找；
- （3）如果查找的元素对应的值等于当前节点对应的值，说明找到了；
- （4）如果直至叶子节点都找不到对应的值，说明该元素不存在该树中；
以上面的二叉查找树为例，如果我们要搜索45节点在树中的位置，大体流程如下：
- 【a】从根节点50出发，45 < 50，小于50，则去50的左子树进行查找，当前节点变为30；
- 【b】比较45 > 30，大于30，则去30的右子树进行查找，当前节点变为40；
- 【c】比较45 > 40，大于40，则会40的右子树进行查找，当前节点变为45；
- 【d】比较45 = 45，刚好相等，找到目标节点，整个查找过程结束；
如下图所示：
三、二叉查找树的插入
二叉查找树进行插入的话，首先必须找出需要插入的位置，这个搜索过程跟上面的流程一样，找到插入位置后直接插入即可，大体包括下面的步骤：
- 如果当前二叉查找树是一颗空树，则直接创建节点进行插入即可；
- 如果当前二叉查找树不是空树，则有下面三个情况：
- 如果插入节点的值比当前节点的值小，则到它的左子树去插入，依次递归查找，如果左子树或者节点为空，则插入到这个位置；
- 如果插入节点的值比当前节点的值大，则到它的右子树去插入，依次递归查找，如果右子树或者节点为空，则插入到这个位置；
- 如果插入节点的值与当前节点的值相等，说明该元素已经在树中存在了，直接返回；
下面以一个示例说明二叉查找树的插入过程：依次插入元素【10、21、30、15、25、35、40、5】，下面是具体的构建过程：
总体原则：根据左小右大找到插入位置进行插入。
【a】插入10
【b】插入20
【c】插入30
【d】插入15
【e】插入25
【f】插入35
【g】插入40
【h】插入5
可见，构建过程比较简单，就是挨个进行比较，比当前节点值小就去左子树去插入，比当前节点值大就去右子树去插入。
四、二叉查找树的删除
删除节点也会涉及到查找删除的节点位置这一步，同样跟上面的查找流程类似。删除前首先要找到该节点，如果找不到，说明树中不存在此节点，不进行任何操作，直接结束即可。
二叉查找树删除大致可以分为以下三种情况：
- 删除节点是叶子节点，无子节点，直接删除即可；
- 待删除的节点只有一个子节点，那么用该子节点接到删除节点的父节点即可；
- 待删除的节点有两个子节点，那么使用前或后继节点作为替换节点，对删除节点进行数据替换，然后转移至删除替换节点即可；
【a】删除节点是叶子节点，无子节点
如果删除节点35，因为35是叶子节点，所以直接删除即可。
【b】待删除的节点只有一个子节点，那么用该子节点接到删除节点的父节点即可
如果我们删除节点35，因为35只有一个子节点32，所以只需要将32连接到40的左子树上面，断开35和40的连接即可，如下图：
【c】待删除的节点有两个子节点，那么使用前或后继节点作为替换节点，对删除节点进行数据替换，然后转移至删除替换节点即可
在二叉搜索树中，寻找前后继节点很简单：
- 前继节点：小于当前节点的，在左子树中最右边的那个节点。
- 后继节点：大于当前节点的，在右子树中最左边的那个节点。
查找过程：
- （1）寻找前继节点，当前节点左子树进行查找，然后右转一直走到底（右子节点为null时终止）；
- （2）寻找后继节点，当前节点右子树中查找，然后左转一直走到底（左子节点为null时终止）；
如下图所示：
下面我们需要删除节点10，具体删除流程如下图所示：
注意：上图中的15应该是10的后继节点，笔者笔误了。
五、总结
本文主要总结了二叉搜索树的一些特性，以及二叉搜索树的查找流程、插入、删除流程，并通过示例讲解了具体是怎么操作的，但是二叉搜索树在极端情况下的查询效率不是很高，复杂度可能会是O(n)，如下图：
造成上面的原因主要是树不平衡，为了解决这种不平衡，推出了平衡二叉搜索树，平衡二叉搜索树（AVL树、红黑树等）就是为了解决这个问题：
平衡二叉树在进行插入、删除后，会进行自平衡，从而保证其查询的时间复杂度接近于O(log2n)。
小伙伴们可以在下面的网址进行动态构建二叉搜索树、红黑树等等，可以加深二叉搜索树的插入、删除等流程。
https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BST.html