Leetcode 69：Sqrt(x)（超详细的解法！！！）

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:

输入: 4
输出: 2

示例 2:

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

解题思路

首先可以想到的最简单的处理思路就是遍历[1,x]的所有元素i，计算相应的平方值，如果大于x的话，我们返回i-1即可。

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        for i in range(x+1):
            if i**2 > x:
                return i - 1
        return x

但是这显然太过随意，时间复杂度太高。这个问题在数学上已经有很明确的解法了，就是大名鼎鼎的牛顿法。

首先，选择一个接近函数 $f(x)$ 零点的 $x_0$ ，计算相应的 $f(x_0)$ 和切线斜率 $f^{'}(x_0)$ (这里 $f^{'}$ 表示函数 $f$ 的导数)。然后我们计算穿过点 $(x_0,f(x_0))$ 并且斜率为 $f^{'}(x_0)$ 的直线和 $x$ 轴的交点 $x$ 坐标，也就是求如下方程的解：

$0=(x-x_0)*f^{'}(x_0)+f(x_0)$

我们将新求得的点的 $x$ 坐标名为 $x_1$ ，通常 $x_1$ 会比 $x_0$ 更接近方程 $f(x)=0$ 的解。因此我们现在利用 $x_1$ 开始下一轮迭代。迭代公式可以简化为下面表示：

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)}$

对于本题我们要求解的就是 $x^2=n$ 的解，也就是 $f(x)=x^2-n$ ，对应的 $f^{'}(x)=2x$ 。

$x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^2-n}{2x_i}=\frac{x_i^2+n}{2x_i}=\frac{x_i+\frac{n}{x_i}}{2}$

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        res = x
        while res**2 > x:
            res = (res + x//res)//2
            
        return res

reference:

https://zh.wikipedia.org/wiki/牛顿法

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！