图论学习记录1

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记录1

2.5 度

1. 定义
   图G=(V,E），V为顶点的集合，E为边的集合。任意v属于V，与v关联的边的条数成为v的度，记作 deg v。
2. 推论

• 1条边对度的贡献为2，则图的总度数为边数的两倍
  sum(deg(v)) = 2q
• 握过奇数次手的人有偶数个。（把人分为两类，握过奇数次手和握过偶数次手，两类人加起来有偶数个，握过偶数次手的人加起来有偶数个。）

$\delta$δ(G) = min{deg v}
$\Delta$Δ (G) = max{deg v}

2.6正则图

1. 定义
   图G=(V,E），任意v属于V，deg(v) = r，则称G为r-正则图

• 2-正则图
  
• 3-正则图 （中间交叉点不算做顶点）
  
  假设G=(V,E）是一个（p,q) 图，有 顶点的度大于等于0，小于等于p-1。则（p-1）-正则图称为完全图，记为$K_p$Kp​
  $K_m,_n$Km​,n​ 双图

例2 n个人组成的团体中，必有2个人朋友数相同。

图模型：G=(V,E）是一个（n,q) 图，则存在一个u，v属于V，使deg(u) = deg(v)。
分析：任意u属于V，0 <= deg(v) <= n-1，如果n个顶点的度各不相同，则依次为0,1,2,3,…,n-1，则有deg(v1) = 0,deg(v2) = n-1，即v1无人连接，v2与所有人连接，矛盾！

2.7同构

例1

下面两个图等价

交换v2和v5，则为同构

1. 定义
   
2. 乌拉姆猜想
   子图同构 => 图同构
   1. 乌拉姆《数学问题集》
   2. 3个顶点图，除去同构的，有4种画法，4个顶点…