多元高斯分布/多元正态分布

这些知识，动不动就忘。为了不白选了一门数学课，还是把他记下来。
$f(x)= \frac{1}{ (2\pi)^{n/2} {|C|}^{\frac{1}{2}}}exp\{ -\frac{1}{2} (x-\mu)^T C^{-1} (x-\mu) \}$f(x)=(2π)n/2∣C∣21​1​exp{−21​(x−μ)TC−1(x−μ)}，其中 $C$C为协方差矩阵，n为数据维度。

对于二元正态分布:
$C= \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{bmatrix}$C=[σ12​ρσ1​σ2​​ρσ1​σ2​σ22​​]。其中$\sigma_i$σi​为第$i$i维数据的方差,$\rho$ρ为相关系数，所以显然$\rho\sigma_1\sigma_2$ρσ1​σ2​为协方差。

二元正态分布:
$\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}\sigma_1\sigma_2} exp\{-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\} exp\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \times (\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}-\rho\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2\}$2π1−ρ2​σ1​σ2​1​exp{−2σ22​(y−μ2​)2​}exp{−2(1−ρ2)1​×(σ1​x−μ1​​−ρσ2​y−μ2​​)2}

对于多元正态分布，如果各维相互独立，那么$C$C中主对角之外的元素为0，这是因为相关系数都为0。

接下来附上3页草稿，验证二元正态分布的形式和多元正态分布的形式吻合:

如果n维正态分布的每一维相互独立，密度函数就是n个1维正态分布的乘积。