参考文献
《Siwei Jiang, Jie Zhang, Yew-Soon Ong, Allan N. Zhang, and Puay Siew Tan：A Simple and Fast Hypervolume Indicator-Based Multiobjective Evolutionary Algorithm》
要点：
- 基于HV指标的多目标进化算法的瓶颈是测量不同解的HV贡献的高时间复杂度；
- 本文提出了一种简单快速的基于超体积指标的MOEA (FV-MOEA)算法，用于快速更新不同解的精确HV贡献；
- FV-MOEA的核心思想是，一个解的HV贡献只与部分解相关，而不是与整个解集相关；
- 通过删除不相关的解决方案，FV-MOEA的时间成本可以大大降低。
一、FV-MOEA的核心贡献
- 介绍了一种简单快速的测量HV贡献的方法。本文首次尝试通过删除无关解和转移HV贡献来减少计算精确HV贡献的计算代价。
- 提出了基于HV指标的多目标进化算法中批量选择子代的模型。当种群发生变化时，该机制可以大大节省重新计算HV贡献的时间成本。
- 实验研究表明，FV-MOEA在HV和时间成本方面明显优于五个经典MOEA(即NSGA-II、SPEA2、MOEA/D、IBEA和SMS-EMOA)。
二、一个解的HV贡献
以图1为例，假设一个非支配解集S={a，b，c，d，e}在二维帕累托最优前沿如图，参考集是只包含一个解的R = {r}。
集合S相对于R的HV，表示为HV(S，R)，是包围在虚线断续线内的区域cbadeRc。然后，在SMS-EMOA中提出了一种计算解决方案a的HV贡献的简单方法，采用以下形式
一般来说，它的时间成本很高，因为它需要计算所有解的HV(S，R)和不包括一个解的HV(S-a，R)的集合的HV。这意味着HV计算的时间成本随着解集|S|的大小和多目标规划的维数的增加而显著增加。它的另一个限制是，当一些解从集合S中移除或添加到集合S中时，我们必须重新计算两个项，即HV(S，R)和HV(S-a，R)。
为了克服上述两个局限性，本文提出了一种通过去除无关解来计算v1(a，S，R)的FV方法。首先，我们定义一个变差函数，从两个解中寻找变差的目标值。例如，为了最小化图1中的双目标MOP，较差的解w1、w2、w3和w4分别具有在a和b、c、d、e之间的最大目标值。然后，解a∈S的非支配变差函数定义为
在图1中，W =nondominated({w1，w2，w3，w4}) = {w1，w3}，因为w2，w4分别由w1，w3支配。基于上述定义，提出了一种计算v1(a，S，R)的替代方法
三、两个解的HV贡献
通过使用非支配变差函数，我们可以快速得到两个解的HV贡献。
以图2为例，最差解w1=worse(a，b)具有解a和b的最大目标值。w1的非支配最差解为
其中，在图2中，W = nondominated({w2，w3，w4}) = {w2，w3}。两个解{a，b}的HV贡献为矩形区域，计算方法为
基于上式，当从解集中删除另一个解时，两个解的HV贡献可以转移到一个解。例如，假设解a从解集S中移除，S’= S-a = { b，c，d，e}。解b的新HV贡献可以快速更新为
在图2中，解b的新的HV贡献，称为v1(b，S’，R)，是其原始HV贡献v1(b，S，R)(即矩形面积bw1w2b)和两个解v2({a，b}，S，R)的HV贡献之和。值得注意的是，当在集合S中检测到一些变化时，这种特殊机制克服了原有机制对于重新计算HV贡献的限制。
四、伪代码
FV伪代码
FV-MOEA伪代码