大位宽超前进位加法器的实现

大位宽超前进位加法器

无疑就是位数较多时的超前进位加法器，是用超前进位加法器实现的。

1. 串行进位加法器

• 半加器：不包含进位的加法器，需要两个门实现。
  
  $S = X \oplus Y$S=X⊕Y$C = X \land Y$C=X∧Y
• 全加器：包含进位的加法器，需要五个门实现。
  
  $S = a \oplus b \oplus c_{in}$S=a⊕b⊕cin​$C = a \land b + a \land c_{in} + b \land c_{in}或C = a \land b + (a \oplus b) \land c_{in}$C=a∧b+a∧cin​+b∧cin​或C=a∧b+(a⊕b)∧cin​
• 串行进位加法器使用全加器实现的，由$N$N个一位加法器串联而成，第$i$i级的用来产生第$i + 1$i+1级的进位。但是这种结构的特点是结构直观简单，运行速度慢，最坏情形下关键路径的延时较长。
  
  串行进位加法器的延时：$T = T_{FA}(x,y-c_{out}) +(k-2)*T_{FA}(c_{in}-c_{out}) + T_{FA}(c_{in}-s)$T=TFA​(x,y−cout​)+(k−2)∗TFA​(cin​−cout​)+TFA​(cin​−s)
  

2. 超前进位加法器

超前进位加法器就是利用进位产生项和进位传播项实现的，改进的串行进位加法器，一种优化，改变了进位的计算方法，提升了加法器的速度。
具体实现方法：
分析$S_{i} = A_{i} \oplus B_{i} \oplus C_{i} 和 C_{i+1} = A_{i} \land B_{i} + (A_{i} \oplus B_{i} )\land C_{i}$Si​=Ai​⊕Bi​⊕Ci​和Ci+1​=Ai​∧Bi​+(Ai​⊕Bi​)∧Ci​
令$进位产生项G_{i} = A_{i} \land B_{i},进位传播项P_{i} = A_{i} \oplus B_{i}$进位产生项Gi​=Ai​∧Bi​,进位传播项Pi​=Ai​⊕Bi​
得到：$S_{i} = P_{i} \oplus C_{i} 和 C_{i+1} = G_{i} + P_{i} \land C_{i}$Si​=Pi​⊕Ci​和Ci+1​=Gi​+Pi​∧Ci​

举个简单的例子，用超前进位加法器实现4位加法：
$C_{1} = G_{0} + P_{0} \land C_{0}$C1​=G0​+P0​∧C0​$C_{2} = G_{1} + P_{1} \land C_{1} = G_{1} + P_{1}G_{0} + P_{1} \land P_{0} \land C_{0}$C2​=G1​+P1​∧C1​=G1​+P1​G0​+P1​∧P0​∧C0​$C_{3} = G_{2} + P_{2} \land C_{2} = G_{2} + P_{2} \land G_{1} + P_{2} \land P_{1}G_{0} + P_{2} \land P_{1} \land P_{0} \land C_{0}$C3​=G2​+P2​∧C2​=G2​+P2​∧G1​+P2​∧P1​G0​+P2​∧P1​∧P0​∧C0​$C_{4} = G_{3} + P_{3} \land C_{3} = G_{3} + P_{3} \land G_{2} + P_{3} \land P_{2} \land G_{1} + P_{3} \land P_{2} \land P_{1}G_{0} + P_{3} \land P_{2} \land P_{1} \land P_{0} \land C_{0}$C4​=G3​+P3​∧C3​=G3​+P3​∧G2​+P3​∧P2​∧G1​+P3​∧P2​∧P1​G0​+P3​∧P2​∧P1​∧P0​∧C0​

可得出：每个进位的值均只与输入有关。
但也有不足：当展开的项数越多，电路扇入变大，复杂度增加，速度减慢，通常超前进位加法器4位为单位，便可以形成多位进位加法器啦，即大位宽超前进位加法器。

3.用超前进位加法器实现16位加法器

对$C_{4}$C4​再进一步处理$C_{4} = G_{3} + P_{3} \land C_{3} = G_{3} + P_{3} \land G_{2} + P_{3} \land P_{2} \land G_{1} + P_{3} \land P_{2} \land P_{1}G_{0} + P_{3} \land P_{2} \land P_{1} \land P_{0} \land C_{0}$C4​=G3​+P3​∧C3​=G3​+P3​∧G2​+P3​∧P2​∧G1​+P3​∧P2​∧P1​G0​+P3​∧P2​∧P1​∧P0​∧C0​
令$P = P_{3} \land P_{2} \land P_{1} \land P_{0}$P=P3​∧P2​∧P1​∧P0​
$G = G_{3} + P_{3} \land C_{3} = G_{3} + P_{3} \land G_{2} + P_{3} \land P_{2} \land G_{1} + P_{3} \land P_{2} \land P_{1}G_{0}$G=G3​+P3​∧C3​=G3​+P3​∧G2​+P3​∧P2​∧G1​+P3​∧P2​∧P1​G0​,因为$P$P和$G$G均与输入有关，$C_{4} = G + P \land C_{0}$C4​=G+P∧C0​,这是一个单位，改变下形式：$此P_{0}非彼P_{0} ，P_{0} = P_{3} \land P_{2} \land P_{1} \land P_{0}$此P0​非彼P0​，P0​=P3​∧P2​∧P1​∧P0​$此G_{0}非彼G_{0} ，G_{0} = G_{3} + P_{3} \land C_{3} = G_{3} + P_{3} \land G_{2} + P_{3} \land P_{2} \land G_{1} + P_{3} \land P_{2} \land P_{1}G_{0}$此G0​非彼G0​，G0​=G3​+P3​∧C3​=G3​+P3​∧G2​+P3​∧P2​∧G1​+P3​∧P2​∧P1​G0​$C_{1} = G_{0} + P_{0} \land C_{0}$C1​=G0​+P0​∧C0​正如下图所示：

便可形成16位加法器了：

进而可以形成更加复杂的加法器：

4.致谢

文中部分图片来自中国科学院微电子研究所梁利平老师的课件，特此感谢。