线性代数笔记9：特征值在微分方程中的应用

本节将矩阵的特征值与微分方程联系在一起，从另一个角度更好地了解特征值。

在差分方程中的应用

首先回顾由差分方程uk+1=Auk$u_{k+1}=A{u}_k$描述的离散动力系统的长期行为，即k⇒∞$k\Rightarrow \mathrm{\infty }$时解的性质。

设A$A$可对角化，即存在可逆矩阵S=(x1,...,xn)$S=(x_1,...,x_n)$，使得S−1AS=Λ$S^{-1}AS=\mathrm{\Lambda }$为对角阵。

设S−1u0=(c1,...,cn)T$S^{-1}{u}_0=(c_1,...,c_n{)}^T$,即u0=c1x1+...+cnxn$u_0=c_1{x}_1+...+c_n{x}_n$。

uk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn$$u_k=A^k{u}_0=S{\mathrm{\Lambda }}^k{S}^{-1}{u}_0=c_1{\lambda }_1^k{x}_1+...+c_n{\lambda }_n^k{x}_n$$

可以看出，uk$u_k$的增长因子λki${\lambda }_i^k$支配，因此系统的稳定性依赖于A$A$的特征值。

当所有特征值|λi|<1$|{\lambda }_i|<1$时，是稳定的；

当所有特征值|λi|≤1$|{\lambda }_i|\le 1$时，是中性稳定的；

当至少有一个特征值|λi|>1$|{\lambda }_i|>1$时，是不稳定的；

因此，Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的。

引言

设关于t的向量值可导函数u=u(t)=⎛⎝⎜u1(t)....un(t)⎞⎠⎟$u=u(t)=\left(\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ ....\\ u_n(t)\end{array}\right)$，满足：

dudx=Au$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=Au$$

其中A=(aij)$A=(a_{ij})$为n$n$阶常数矩阵，求解u=u(t)$u=u(t)$

• 若A=⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & ...& \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$为对角阵，
  
  • 则duidx=λiui$\frac{\mathrm{d}{u}_i}{\mathrm{d}x}={\lambda }_i{u}_i$
  • 因此可解得u=u(t)=⎛⎝⎜eλ1tc1...eλntcn⎞⎠⎟$u=u(t)=\left(\begin{array}{c}{e}^{{\lambda }_{1}t}{c}_1\\ ...\\ e^{{\lambda }_{n}t}{c}_n\end{array}\right)$
  • 由于每个方程都是独立的，这类方程被称为解耦的（uncoupled）
• 那么对于一般的矩阵A$A$，如何求解呢？
  
  • 可以将非解耦方程转化为解耦方程求解
  • 

A$A$可对角化情形

1. 设dudt=Au$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$有形如eλtx$e^{\lambda t}x$的解（为什么要这样假设？），其中λ$\lambda$为数，x$x$为向量，则：

   Ax=λx$$Ax=\lambda x$$

   因此，A$A$的每个特征值λ$\lambda$及特征向量x$x$都会给出dudt=Au$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$的一个解u=λtx$u{=}^{\lambda t}x$。

   因此，求解步骤为：

   1. dudt=Au=SΛS−1u$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au=S\mathrm{\Lambda }{S}^{-1}u$$
   2. d(S−1u)dt=Λ(S−1u)$$\frac{\mathrm{d}(S^{-1}u)}{\mathrm{d}t}=\mathrm{\Lambda }(S^{-1}u)$$
   3. S−1u=⎛⎝⎜eλ1tc1...eλntcn⎞⎠⎟$$S^{-1}u=\left(\begin{array}{c}{e}^{{\lambda }_{1}t}{c}_1\\ ...\\ e^{{\lambda }_{n}t}{c}_n\end{array}\right)$$
   4. u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn,且u(0)=c1x1+...+cnxn$$u(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1+...+c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{x}_n,且u(0)=c_1{x}_1+...+c_n{x}_n$$

   这样，其实我们就使用对角化将非解耦的方程转化为解耦方程，方便求解。

2. 设u=u1(t)$u=u_1(t)$和u=u2(t)$u=u_2(t)$是齐次线性微分方程组dudt=Au$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$的解，则他们的线性组合u=c1u1(t)+c2u2(t)$u=c_1{u}_1(t)+c_2{u}_2(t)$也是此方程组的解，其中c1$c_1$和c2$c_2$是任意常数。

3. dudt=An×nu$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=A_{n\times n}u$的解集是一个n$n$维向量空间。

   若A$A$可对角化，则方程组的通解为u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn$u(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1+...+c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{x}_n$

矩阵的指数函数

1. 回顾ex=1+x+x22!+...+xnn!+...$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$

   因此可使用eAx$e^{Ax}$带入，可得：

   d(eAt)dt=AeAt$$\frac{\mathrm{d}(e^{At})}{\mathrm{d}t}=A{e}^{At}$$

   而我们需要求的微分方程组dudt=Au$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$，因此u(t)=eAtu(0)$u(t)=e^{At}u(0)$。

2. 矩阵的指数函数性质：

   • 若Λ=⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟，则eΛt=⎛⎝⎜eλ1t...eλnt⎞⎠⎟$\mathrm{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & ...& \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)，则e^{\mathrm{\Lambda }t}=\left(\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& & \\ & ...& \\ & & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right)$
   • 若AB=BA$AB=BA$，则eA+B=eA⋅eB$e^{A+B}=e^A\cdot e^B$，特别的，(eA)−1=e−A$(e^A{)}^{-1}=e^{-A}$。
   • 若存在可逆矩阵P$P$,使得A=PBP−1$A=PB{P}^{-1}$，则eAt=PeBtP−1$e^{At}=P{e}^{Bt}{P}^{-1}$。

3. 因此，若A$A$可对角化，由定理一可知：

   u(t)=eAtu(0)=SeΛtS−1u(0)=(x1,...,xn)⎛⎝⎜eλ1t...eλnt⎞⎠⎟⎛⎝⎜c1...cn⎞⎠⎟$$u(t)=e^{At}u(0)=S{e}^{\mathrm{\Lambda }t}{S}^{-1}u(0)=(x_1,...,x_n)\left(\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& & \\ & ...& \\ & & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ...\\ c_n\end{array}\right)$$
   =c1eλ1tx1+...+cneλntxn$$=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1+...+c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{x}_n$$

A$A$二阶常系数线性微分方程

1. 假设eλt$e^{\lambda t}$是方程的解，则可以得特征方程，

   • 若λ1,λ2${\lambda }_1,{\lambda }_2$为实数，则方程的通解为：

     y=c1eλ1t+c2eλ2t$$y=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$$

   • 若λ1,λ2${\lambda }_1,{\lambda }_2$为共轭负数，即λ1=α+iβ,λ2=α−iβ${\lambda }_1=\alpha +i\beta ,{\lambda }_2=\alpha -i\beta$，则方程的通解为：

     y=eαt(c1cosβt+c2sinβt)$$y=e^{\alpha t}(c_{1}cos\beta t+c_{2}sin\beta t)$$

2. 也可以使用矩阵表示为dudx=Au$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=Au$。

3. 若A$A$有相同特征值，则不能对角化（为什么？），可使用第一种方法，但要注意，若有n$n$重根，则解为t0eλt,....,tn−1eλt$t^0{e}^{\lambda t},....,t^{n-1}{e}^{\lambda t}$。

微分方程的稳定性

我们知道若A$A$可对角化，则dudx=Au$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=Au$有通解：

u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn$$u(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1+...+c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{x}_n$$

若所有的实数λi<0${\lambda }_i<0$，则解是稳定的；

若所有的实数λi≤0${\lambda }_i\le 0$，则解是中性稳定的；

若至少有一个的实数特征值λi<0${\lambda }_i<0$，则解是不稳定的