抽样和抽样分布-样本均值的抽样分布

抽样分布：

现在，假设将抽取n个样本组成一个简单随机样本的过程重复进行下去，每次都计算 x¯ 和 p¯ 的值。
在不同的简单随机样本中，这些样本统计量的值有各种可能的结果，它们是随机变量。是随机变量就能得到其概率分布，我们称这些随机变量的概率分布为它们的抽样分布。

这一节，我们先来看看样本均值 x¯ 的抽样分布。
和其他概率分布一样，x¯ 的抽样分布也有期望、标准差以及形态特征。

x¯ 的数学期望：

E(x¯)=μ，E(x¯) 为 x¯ 的期望，μ 为总体均值。

x¯ 的标准差：

x¯ 的标准差公式与总体是否有限有关。
有限总体下：
σx¯=N−nN−1‾‾‾‾√⋅(σn√)
无限总体下：
σx¯=σn√
式中的N−nN−1‾‾‾‾√ 称为有限总体修正系数。在很多实际抽样中，总体的容量很大，样本容量相对很小，修正系数N−nN−1‾‾‾‾√ 趋近于1，有限总体和无限总体 x¯ 的标准差计算之间的差别可以忽略，我们可以用通式 σx¯=σn√ 计算样本均值的标准差。那具体是总体容量大到什么程度，样本容量小到什么程度，两条公式间的差别才可以忽略呢？我们约定，当nN⩽0.05，即样本容量不超过总体容量的5%时，两者间误差可忽略。
另外，为强调σx¯ 和总体标准差 σ 的不同（σx¯ 是总体的简单随机样本的均值的抽样分布的标准差），我们称σx¯ 为均值x¯ 的标准误差。

x¯ 的抽样分布的形态

考虑以下两种情形：总体服从正态分布、总体不服从正态分布。
总体服从正态分布时，任何样本容量下 x¯ 的抽样分布都是正态分布；
总体不服从正态分布时，我们引入中心极限定理：

从总体中抽取容量为n的简单随机样本，当样本容量很大时，样本均值 x¯ 的抽样分布近似服从抽样分布。

下图给出了样本容量分别为n=2、n=5 和n=30时抽样分布的形状：

可以看到，随着样本容量的增加，抽样分布的形态逐渐趋近于正态分布。
在一般统计实践中，对大多数应用，假定样本容量超过或等于30时，x¯ 的抽样分布可用正态分布近似；当总体严重偏态或出现异常点时，可能需要样本容量达到50；当总体为离散型时，正态近似中所需样本容量一般依赖于总体的比率。